Korijeni polinoma nazivaju se i njegove nule, jer su korijenixvrijednosti pri kojima je funkcija jednaka nuli. Što se tiče stvarnog pronalaženja korijena, na raspolaganju vam je više tehnika; faktoring je metoda koju ćete najčešće koristiti, iako grafikoni također mogu biti korisni.
Koliko korijena?
Ispitajte pojam polinoma najvišeg stupnja - odnosno pojam s najvećim eksponentom. Taj je eksponent koliko će korijena imati polinom. Dakle, ako je najveći eksponent u vašem polinomu 2, imat će dva korijena; ako je najveći eksponent 3, imat će tri korijena; i tako dalje.
Upozorenja
-
Postoji kvaka: Korijeni polinoma mogu biti stvarni ili imaginarni. "Pravi" korijeni pripadnici su skupa poznatog kao stvarni brojevi, što je u ovom trenutku vaše matematičke karijere svaki broj s kojim ste navikli nositi se. Ovladavanje zamišljenim brojevima posve je druga tema, pa za sada sjetite se samo tri stvari:
- "Imaginarni" korijeni pojavljuju se kada imate kvadratni korijen negativnog broja. Na primjer, √ (-9).
- Zamišljeni korijeni uvijek dolaze u parovima.
- Korijeni polinoma mogu biti stvarni ili imaginarni. Dakle, ako imate polinom 5. stupnja, on bi mogao imati pet stvarnih korijena, mogao bi imati tri stvarna korijena i dva imaginarna korijena itd.
Pronađi korijene faktoringom: Primjer 1
Najsvestraniji način pronalaženja korijena je čim više faktoring vašeg polinoma, a zatim postavljanje svakog pojma na nulu. To ima puno više smisla nakon što slijedite nekoliko primjera. Razmotrimo jednostavni polinomx2 – 4x:
Kratki pregled pokazuje da možete uzeti u obzirxiz oba člana polinoma, što vam daje:
x (x - 4)
Postavite svaki pojam na nulu. To znači rješavanje dvije jednadžbe:
x = 0
je prvi pojam postavljen na nulu, i
x - 4 = 0
je drugi pojam postavljen na nulu.
Već imate rješenje za prvi mandat. Akox= 0, tada je cijeli izraz jednak nuli. Takox= 0 jedan je od korijena ili nula polinoma.
Sada, razmotrite drugi pojam i riješite problemx. Ako dodate 4 na obje strane, imat ćete:
x - 4 + 4 = 0 + 4
što pojednostavljuje na:
x = 4
Pa akox= 4 tada je drugi faktor jednak nuli, što znači da je i cijeli polinom jednak nuli.
Budući da je izvorni polinom bio drugog stupnja (najveći eksponent bio je dva), znate da za ovaj polinom postoje samo dva moguća korijena. Već ste ih pronašli, pa ih sve što trebate učiniti navesti:
x = 0, x = 4
Pronađi korijene faktoringom: Primjer 2
Evo još jednog primjera kako faktorijem pronaći korijene koristeći usputnu modnu algebru. Razmotrimo polinomx4 – 16. Brzi pogled na njegove eksponente pokazuje vam da bi za ovaj polinom trebali postojati četiri korijena; sad je vrijeme da ih nađemo.
Jeste li primijetili da se ovaj polinom može prepisati kao razlika kvadrata? Pa umjestox4 - 16, imate:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
Koji, koristeći formulu za razliku kvadrata, računaju na sljedeće:
(x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4)
Prvi je pojam opet razlika kvadrata. Dakle, iako pojam s desne strane ne možete dalje računati, izraz s lijeve možete dodati još jedan korak:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Sad je vrijeme da pronađemo nule. Brzo postaje jasno da akox= 2, prvi će faktor biti jednak nuli, a time će i cijeli izraz biti jednak nuli.
Slično tome, akox= -2, drugi će faktor biti jednak nuli, a time i cijeli izraz.
Takox= 2 ix= -2 su obje nule ili korijeni ovog polinoma.
Ali što je s tim posljednjim mandatom? Budući da ima eksponent "2", trebao bi imati dva korijena. Ali ovaj izraz ne možete računati na stvarne brojeve na koje ste navikli. Morali biste se koristiti vrlo naprednim matematičkim konceptom koji se naziva imaginarni brojevi ili, ako želite, složeni brojevi. To je daleko izvan dosega vaše trenutne matematičke prakse, pa je za sada dovoljno napomenuti da imate dva stvarna korijena (2 i -2) i dva zamišljena korijena koja ćete ostaviti nedefiniranima.
Pronađi korijene grafičkim prikazom
Korijene također možete pronaći ili barem procijeniti grafičkim prikazom. Svaki korijen predstavlja mjesto gdje graf funkcije prelazixos. Dakle, ako nacrtate liniju, a zatim zabilježitexkoordinate gdje linija presijecaxosi, možete umetnuti procijenjenuxvrijednosti tih točaka u vašu jednadžbu i provjerite jeste li ih ispravno shvatili.
Razmotrimo prvi primjer na kojem ste radili, za polinomx2 – 4x. Ako ga pažljivo izvučete, vidjet ćete da linija presijecaxos prix= 0 ix= 4. Ako svaku od ovih vrijednosti unesete u izvornu jednadžbu, dobit ćete:
0^2 - 4(0) = 0
takox= 0 bila je valjana nula ili korijen za ovaj polinom.
4^2 - 4(4) = 0
takox= 4 je također valjana nula ili korijen za ovaj polinom. A budući da je polinom bio stupnja 2, znate da možete prestati paziti nakon pronalaska dva korijena.
