Taylorova serija je numerička metoda predstavljanja zadane funkcije. Ova metoda ima primjenu u mnogim inženjerskim područjima. U nekim slučajevima, poput prijenosa topline, diferencijalna analiza rezultira jednadžbom koja odgovara obliku Taylorove serije. Taylorova serija također može predstavljati integral ako integral te funkcije ne postoji analitički. Ovi prikazi nisu točne vrijednosti, ali izračunavanje više članaka u nizu učinit će aproksimaciju točnijom.
Odaberite centar za seriju Taylor. Ovaj je broj proizvoljan, ali dobro je odabrati središte u kojem postoji simetrija u funkciji ili gdje vrijednost centra pojednostavljuje matematiku problema. Ako računate prikaz Taylorove serije f (x) = sin (x), dobro središte za upotrebu je a = 0.
Odredite broj pojmova koje želite izračunati. Što više izraza upotrijebite, to će vaše predstavljanje biti točnije, ali budući da je Taylorova serija beskonačna serija, nemoguće je obuhvatiti sve moguće pojmove. Primjer sin (x) koristit će šest izraza.
Izračunajte izvedenice koje će vam trebati za seriju. Za ovaj primjer morate izračunati sve izvode do šestog izvoda. Budući da Taylorova serija započinje s "n = 0", morate uključiti "0-ti" derivat, koji je samo izvorna funkcija. 0-ti derivat = sin (x) 1. = cos (x) 2. = -sin (x) 3. = -cos (x) 4. = sin (x) 5. = cos (x) 6. = -sin (x)
Izračunajte vrijednost za svaki derivat u središtu koje ste odabrali. Te će vrijednosti biti brojitelji za prvih šest pojmova Taylorove serije. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Upotrijebite izračune izvedenica i centrirajte za određivanje pojmova Taylorove serije. 1. mandat; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2. mandat; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! 3. mandat; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4. mandat; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5. mandat; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! 6. mandat; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Taylorova serija za grijeh (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Spustite nula člana u niz i pojednostavnite izraz algebarski kako biste odredili pojednostavljeni prikaz funkcije. Ovo će biti potpuno drugačija serija, pa se prethodno korištene vrijednosti za "n" više ne primjenjuju. grijeh (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! +... grijeh (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! -... Budući da se znakovi izmjenjuju između pozitivnih i negativnih, prva komponenta pojednostavljene jednadžbe mora biti (-1) ^ n, budući da u nizu nema parnih brojeva. Izraz (-1) ^ n rezultira negativnim predznakom kada je n neparnim i pozitivnim predznakom kada je n paren. Serijski prikaz neparnih brojeva je (2n + 1). Kada je n = 0, ovaj je pojam jednak 1; kada je n = 1, taj je pojam jednak 3 i tako do beskonačnosti. U ovom primjeru upotrijebite ovaj prikaz za eksponente x i faktorijele u nazivniku
Upotrijebite prikaz funkcije umjesto izvorne funkcije. Za naprednije i teže jednadžbe, Taylorova serija može nerješivu jednadžbu učiniti rješivom ili barem dati razumno numeričko rješenje.