Algebra označava prvi pravi konceptualni skok koji studenti moraju napraviti u svijetu matematike, učeći manipulirati varijablama i raditi s jednadžbama. Kad započnete raditi s jednadžbama, naići ćete na neke uobičajene izazove, uključujući eksponente, razlomke i više varijabli. Sve se to može savladati uz pomoć nekoliko osnovnih strategija.
Osnovna strategija algebarskih jednadžbi
Osnovna strategija rješavanja bilo koje algebarske jednadžbe je prvo izolirati varijabilni pojam s jedne strane jednadžbe, a zatim primijenite inverzne operacije po potrebi da biste uklonili bilo koji koeficijent ili eksponenti. Inverzna operacija "poništava" drugu operaciju; na primjer, dijeljenje "poništava" množenje koeficijenta, a kvadratni korijeni "poništavaju" operaciju kvadriranja eksponenta druge snage.
Imajte na umu da ako primijenite operaciju na jednu stranu jednadžbe, istu operaciju morate primijeniti i na drugoj strani jednadžbe. Održavanjem ovog pravila možete promijeniti način pisanja članaka jednadžbe, a da ne promijenite njihov međusobni odnos.
Rješavanje jednadžbi s eksponentima
Vrste jednadžbi s eksponentima s kojima ćete se susresti tijekom vašeg algebarskog putovanja lako bi mogle ispuniti cijelu knjigu. Za sada se usredotočite na svladavanje najosnovnijih jednačina eksponenta, gdje imate jedan varijabilni pojam s eksponentom. Na primjer:
y ^ 2 + 3 = 19
Oduzmite 3 s obje strane jednadžbe, ostavljajući varijabilni pojam izoliranim na jednoj strani:
y ^ 2 = 16
Odstranite eksponent od varijable primjenom radikala istog indeksa. Zapamtite, to morate učiniti s obje strane jednadžbe. U ovom slučaju to znači uzeti kvadratni korijen obje strane:
\ sqrt {y ^ 2} = \ sqrt {16}
Što pojednostavljuje na:
y = 4
Rješavanje jednadžbi razlomcima
Što ako vaša jednadžba uključuje razlomak? Razmotrimo primjer
\ frac {3} {4} (x + 7) = 6
Ako raspodijelite razlomak 3/4 (x+ 7), stvari mogu brzo postati neuredne. Evo puno jednostavnije strategije.
Pomnožite obje strane jednadžbe nazivnikom razlomka. U ovom slučaju to znači množenje obje strane razlomka s 4:
\ frac {3} {4} (x + 7) × 4 = 6 × 4
Pojednostavite obje strane jednadžbe. Ovo uspijeva:
3 (x + 7) = 24
Možete ponovo pojednostaviti, što rezultira:
3x + 21 = 24
Oduzmite 21 s obje strane, izolirajući varijabilni pojam na jednoj strani jednadžbe:
3x = 3
Konačno, podijelite obje strane jednadžbe s 3 da biste dovršili rješavanjex:
x = 1
Rješavanje jedne jednadžbe s dvije varijable
Ako imatejedanjednadžbu s dvije varijable, vjerojatno će se od vas tražiti da riješite samo jednu od tih varijabli. U tom slučaju slijedite gotovo isti postupak kao i za bilo koju algebarsku jednadžbu s jednom varijablom. Razmotrimo primjer
5x + 4 = 2g
ako se od vas traži da riješite problemx.
Oduzmite 3 sa svake strane jednadžbe, ostavljajućixpojam sam po sebi na jednoj strani znaka jednakosti:
5x = 2g - 4
Podijelite obje strane jednadžbe s 5 da biste uklonili koeficijent izxtermin:
x = \ frac {2g - 4} {5}
Ako ne dobijete nikakve druge podatke, ovo je onoliko koliko možete izvršiti izračune.
Rješavanje dvije jednadžbe s dvije varijable
Ako vam je dan sustav (ili grupa)dvajednadžbe koje imaju iste dvije varijable u sebi, to obično znači da su jednadžbe povezane - i možete koristiti tehniku koja se naziva supstitucija da biste pronašli vrijednosti obje varijable. Razmotrimo jednadžbu iz posljednjeg primjera, plus drugu, povezanu jednadžbu koja koristi iste varijable:
5x + 4 = 2y \\ x + 3y = 23
Odaberite jednu jednadžbu i riješite tu jednadžbu za jednu od varijabli. U ovom slučaju upotrijebite ono što već znate o prvoj jednadžbi iz prethodnog primjera, za koju ste već riješilix:
x = \ frac {2g - 4} {5}
Zamijenite rezultat iz 1. koraka u drugu jednadžbu. Drugim riječima, zamijenite vrijednost (2g- 4) / 5 za sve slučajevexu drugoj jednadžbi. To vam daje jednadžbu sa samo jednom varijablom:
\ frac {2y - 4} {5} + 3y = 23
Pojednostavite jednadžbu iz koraka 2 i riješite preostalu varijablu, što je u ovom slučajug.
Za početak pomnožite obje strane s 5:
5 × \ bigg (\ frac {2y - 4} {5} + 3y \ bigg) = 5 × 23
Ovo pojednostavljuje na:
2y - 4 + 15y = 115
Nakon kombiniranja sličnih izraza, ovo se dalje pojednostavljuje na:
17y = 119
I konačno, nakon što podijelite obje strane sa 17, imate:
y = 7
Zamijenite vrijednost iz koraka 3 u jednadžbu iz koraka 1. To vam daje:
x = \ frac {(2 × 7) - 4} {5}
Što pojednostavljuje otkrivanje vrijednostix:
x = 2
Dakle, rješenje za ovaj sustav jednadžbi jex= 2 ig = 7.