Jednadžba ravnine u trodimenzionalnom prostoru može se zapisati algebarskim zapisom kao ax + by + cz = d, gdje je barem jedan od konstante realnog broja "a," "b" i "c" ne smiju biti jednake nuli, a "x", "y" i "z" predstavljaju osi trodimenzionalne avion. Ako su zadane tri točke, možete odrediti ravninu pomoću vektorskih križnih proizvoda. Vektor je linija u prostoru. Unakrsni umnožak je množenje dva vektora.
Uzmi tri točke u avionu. Označite ih "A", "B" i "C." Na primjer, pretpostavimo da su ove točke A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); i C = (1, 3, 4).
Pronađite dva različita vektora u ravnini. U primjeru odaberite vektore AB i AC. Vektor AB ide od točke A do točke B, a vektor AC od točke A do točke C. Dakle, oduzmite svaku koordinatu u točki-A od svake koordinate u točki-B da biste dobili vektor AB: (-2, 3, 1). Slično tome, vektor AC je točka-C minus točka-A ili (-2, 2, 3).
Izračunajte križni umnožak dva vektora da biste dobili novi vektor, koji je normalan (ili okomit ili pravokotan) na svaki od dva vektora, a također i na ravninu. Unakrsni umnožak dva vektora, (a1, a2, a3) i (b1, b2, b3), dan je s N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). U primjeru, umnožak N, AB i AC je i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], što pojednostavljuje na N = 7i + 4j + 2k. Imajte na umu da se "i", "j" i "k" koriste za predstavljanje vektorskih koordinata.
Izvesti jednadžbu ravnine. Jednadžba ravnine je Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, gdje je (a1, a2, a3) bilo koja točka u ravnini i (Ni, Nj, Nk ) je normalni vektor, N. U primjeru, koristeći točku C, koja je (1, 3, 4), jednadžba ravnine je 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, što pojednostavljuje na 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0, ili 7x + 4y + 2z = 27.
Potvrdite svoj odgovor. Zamijenite izvorne točke kako biste vidjeli zadovoljavaju li jednadžbu ravnine. Da zaključimo primjer, ako zamijenite bilo koju od tri točke, vidjet ćete da je jednadžba ravnine doista zadovoljena.
Savjeti
Pogledajte Resurse za savjete o tome kako pomoću sustava tri simultane jednadžbe pronaći jednadžbu ravnine.