Kako pronaći eksponencijalnu jednadžbu s dvije točke

Ako znate dvije točke koje padaju na određenu eksponencijalnu krivulju, krivulju možete definirati rješavanjem opće eksponencijalne funkcije pomoću tih točaka. U praksi to znači zamjenu točaka za y i x u jednadžbi y = ab^x. Postupak je lakši ako je vrijednost x za jednu od točaka 0, što znači da je točka na osi y. Ako niti jedna točka nema nulu x-vrijednosti, postupak rješavanja x i y je malo složeniji.

Mnogi važni sustavi slijede eksponencijalne obrasce rasta i propadanja. Na primjer, broj bakterija u koloniji obično se eksponencijalno povećava, a okolno zračenje u atmosferi nakon nuklearnog događaja obično se eksponencijalno smanjuje. Uzimajući podatke i crtajući krivulju, znanstvenici su u boljoj poziciji za predviđanje.

Bilo koja točka na dvodimenzionalnom grafu može se predstaviti s dva broja, koja su obično zapisana u oblik (x, y), gdje x definira vodoravnu udaljenost od ishodišta, a y predstavlja okomicu udaljenost. Na primjer, točka (2, 3) je dvije jedinice desno od osi y i tri jedinice iznad osi x. S druge strane, točka (-2, -3) je dvije jedinice lijevo od osi y. i tri jedinice ispod osi x.

Ako imate dva boda, (x₁, g₁) i (x₂, g₂), eksponencijalnu funkciju koja prolazi kroz te točke možete definirati zamjenom u jednadžbi y = ab^x i rješavanje za a i b. Općenito, morate riješiti ovaj par jednadžbi:

g₁ = ab^x1 i y₂ = ab^x2, .

U ovom obliku matematika izgleda malo komplicirano, ali izgleda manje nakon što napravite nekoliko primjera.

Ako je jedna od x vrijednosti - recimo x₁ - je 0, operacija postaje vrlo jednostavna. Na primjer, rješavanje jednadžbe za točke (0, 2) i (2, 4) daje:

2 = ab⁰ i 4 = ab². Budući da znamo da b⁰ = 1, prva jednadžba postaje 2 = a. Zamjenom a u drugoj jednadžbi dobivamo 4 = 2b², što pojednostavljujemo na b² = 2 ili b = kvadratni korijen iz 2, što je približno približno 1,41. Tada je definirajuća funkcija y = 2 (1,41)^x.

Ako niti jedna vrijednost x nije nula, rješavanje para jednadžbi je nešto glomaznije. Henochmath vodi nas kroz jednostavan primjer kako bismo pojasnili ovaj postupak. U svom je primjeru odabrao par bodova (2, 3) i (4, 27). Iz toga se dobiva sljedeći par jednadžbi:

27 = ab⁴

3 = ab²

Ako prvu jednadžbu podijelite s drugom, dobit ćete

9 = b²

pa je b = 3. Moguće je da i b bude jednako -3, ali u ovom slučaju pretpostavimo da je pozitivno.

Ovu vrijednost možete zamijeniti za b u bilo kojoj jednadžbi da biste dobili a. Jednostavnije je koristiti drugu jednadžbu, pa:

3 = a (3)² što se može pojednostaviti na 3 = a9, a = 3/9 ili 1/3.

Jednadžba koja prolazi kroz ove točke može se zapisati kao y = 1/3 (3)^x.

Od 1910. rast ljudske populacije eksponencijalan je, a crtajući krivulju rasta, znanstvenici su u boljoj poziciji da predviđaju i planiraju budućnost. Godine 1910. svjetska je populacija bila 1,75 milijardi, a 2010. 6,87 milijardi. Uzimajući 1910. kao početnu točku, to daje par bodova (0, 1,75) i (100, 6,87). Budući da je x vrijednost prve točke jednaka nuli, lako možemo pronaći a.

1,75 = ab⁰ ili a = 1,75. Uključivanjem ove vrijednosti, zajedno s vrijednostima druge točke, u opću eksponencijalnu jednadžbu nastaje 6,87 = 1,75b¹⁰⁰, što daje vrijednost b kao stoti korijen od 6,87 / 1,75 ili 3,93. Tako jednadžba postaje y = 1,75 (stoti korijen od 3,93)^x. Iako je za to potrebno više od slajd pravila, znanstvenici mogu koristiti ovu jednadžbu za projektiranje budućeg broja stanovništva kako bi pomogli političarima u sadašnjosti da stvore odgovarajuće politike.