Kako pronaći izvedenice

Jedna od važnih operacija koju radite u računu je pronalazak izvedenica. Izvod funkcije naziva se i brzinom promjene te funkcije. Na primjer, ako je x (t) položaj automobila u bilo kojem trenutku t, tada je izvod x, koji se zapisuje dx / dt, brzina automobila. Također, izvedenica se može vizualizirati kao nagib prave koja tangentira grafu funkcije. Na teoretskoj razini, matematičari tako pronalaze izvode. U praksi se matematičari koriste skupovima osnovnih pravila i tablicama pretraživanja.

Nagib crte između dviju točaka je uspon ili razlika u y vrijednostima podijeljena s potezom ili razlika u x vrijednostima. Nagib funkcije y (x) za određenu vrijednost x definiran je kao nagib linije koja je tangenta na funkciju u točki [x, y (x)]. Da biste izračunali nagib, konstruirate liniju između točke [x, y (x)] i obližnje točke [x + h, y (x + h)], gdje je h vrlo mali broj. Za ovaj redak izvođenje ili promjena vrijednosti x iznosi h, a porast ili promjena vrijednosti y je y (x + h) - y (x). Prema tome, nagib y (x) u točki [x, y (x)] približno je jednak [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. Da biste točno dobili nagib, izračunajte vrijednost nagiba kako h postaje sve manji i manji, do "granice" gdje ide na nulu. Ovako izračunati nagib izvedenica je y (x), koja se zapisuje kao y ’(x) ili dy / dx.

Možete koristiti metodu nagiba / ograničenja za izračunavanje izvedenica funkcija u kojima je y jednako x potenciji a ili y (x) = x ^ a. Na primjer, ako je y jednako x kockano, y (x) = x ^ 3, tada je dy / dx granica jer h ide na nulu od [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Proširivanjem (x + h) ^ 3 dobije se [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, što se smanjuje na 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 nakon što podijelite do h. U ograničenju kako h ide na nulu, svi pojmovi koji u sebi imaju h također idu na nulu. Dakle, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. To možete učiniti za vrijednosti koje nisu 3, a općenito možete pokazati da je d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

Mnoge se funkcije mogu zapisati kao ono što se naziva potencijskim nizom, a to je zbroj beskonačnog broja članova svaki je oblika C (n) x ^ n, gdje je x varijabla, n je cijeli broj, a C (n) je određeni broj za svaku vrijednost n. Na primjer, red snage za sinusnu funkciju je Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., gdje "..." znači izrazi koji se nastavljaju dalje do beskonačnosti. Ako znate red potencija za funkciju, možete koristiti derivat snage x ^ n za izračun izvedenice funkcije. Na primjer, derivat Sin (x) jednak je 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., što je slučajno red potencija za Cos (x).

Izvodi osnovnih funkcija poput potencijala poput x ^ a, eksponencijalnih funkcija, dnevničkih funkcija i trig funkcija nalaze se pomoću metode nagiba / ograničenja, metode nizova snage ili drugih metoda. Ti su derivati ​​zatim navedeni u tablicama. Na primjer, možete potražiti da je derivat Sin (x) Cos (x). Kada su složene funkcije kombinacija osnovnih funkcija, potrebna su vam posebna pravila kao što su pravilo lanca i pravilo proizvoda, koja su također dana u tablicama. Na primjer, koristite lančano pravilo da biste pronašli da je izvod Sin (x ^ 2) 2xCos (x ^ 2). Koristite pravilo proizvoda da biste utvrdili da je derivat xSin (x) xCos (x) + Sin (x). Pomoću tablica i jednostavnih pravila možete pronaći izvedenicu bilo koje funkcije. Ali kad je funkcija izuzetno složena, znanstvenici ponekad pribjegavaju računalnim programima za pomoć.