U matematici se ponekad pojavi potreba da se dokaže jesu li funkcije ovisne ili neovisne jedna o drugoj u linearnom smislu. Ako imate dvije funkcije koje su linearno ovisne, grafički prikazi jednadžbi tih funkcija rezultiraju točkama koje se preklapaju. Funkcije s neovisnim jednadžbama ne preklapaju se kad se slikaju. Jedna od metoda utvrđivanja jesu li funkcije ovisne ili neovisne jest izračunavanje Wronskogova za funkcije.
Što je Wronskian?
Wronskian dviju ili više funkcija ono je što je poznato kao odrednica, koja je posebna funkcija koja se koristi za usporedbu matematičkih objekata i dokazivanje određenih činjenica o njima. U slučaju Wronskog, odrednica se koristi za dokazivanje ovisnosti ili neovisnosti između dvije ili više linearnih funkcija.
Vronska matrica
Da bi se izračunao Wronskian za linearne funkcije, funkcije treba riješiti za istu vrijednost unutar matrice koja sadrži i funkcije i njihove derivate. Primjer za to je
W (f, g) (t) = \ početak {vmatrix} f (t) & g (t) \\ f '(t) & g' (t) \ kraj {vmatrix}
koja Wronskom daje dvije funkcije (fig) koji se rješavaju za jednu vrijednost koja je veća od nule (t); možete vidjeti dvije funkcijef(t) ig(t) u gornjem redu matrice i izvodif'(t) ig'(t) u donjem redu. Imajte na umu da se Wronskian može koristiti i za veće skupove. Ako, na primjer, testirate tri funkcije s Wronskimanom, tada biste mogli popuniti matricu funkcijama i izvedenicamaf(t), g(t) ih(t).
Rješavanje Wronskog
Nakon što funkcije rasporedite u matricu, križno pomnožite svaku funkciju s izvodom druge funkcije i oduzmite prvu vrijednost od druge. Za gornji primjer ovo vam daje
W (f, g) (t) = f (t) g '(t) - g (t) f' (t)
Ako je konačni odgovor jednak nuli, to pokazuje da su dvije funkcije ovisne. Ako je odgovor nešto drugo osim nule, funkcije su neovisne.
Wronskian primjer
Da biste imali bolju ideju o tome kako to funkcionira, pretpostavite to
f (t) = x + 3 \ text {i} g (t) = x - 2
Koristeći vrijednostt= 1, funkcije možete riješiti kao
f (1) = 4 \ text {i} g (1) = -1
Kako su to osnovne linearne funkcije s nagibom 1, izvodi objef(t) ig(t) jednak 1. Unakrsno umnožavanje vaših vrijednosti daje
W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1)
što daje konačni rezultat 5. Iako linearne funkcije obje imaju isti nagib, one su neovisne jer se njihove točke ne preklapaju. Akof(t) proizveo rezultat -1 umjesto 4, Wronskian bi umjesto toga dao rezultat nule da ukaže na ovisnost.