Binomna raspodjela opisuje varijablu x ako 1) postoji fiksni broj n promatranja varijable; 2) sva su opažanja neovisna jedno o drugom; 3) vjerojatnost uspjeha str je isti za svako promatranje; i 4) svako opažanje predstavlja jedan od točno dva moguća ishoda (otuda riječ "binom" - mislite "binarno"). Ova posljednja kvalifikacija razlikuje binomske raspodjele od Poissonovih raspodjela, koje se kontinuirano razlikuju, a ne diskretno.
Takva se raspodjela može napisati B(n, str).
Izračunavanje vjerojatnosti određenog promatranja
Recite vrijednost k leži negdje duž grafa binomne raspodjele, koji je simetričan oko srednje vrijednosti np. Da bi se izračunala vjerojatnost da će promatranje imati ovu vrijednost, mora se riješiti ova jednadžba:
P (X = k) = (n: k) p ^ k (1-p) ^ {n-k}
gdje
(n: k) = \ frac {n!} {k! (n - k)!}
"!" označava faktoralnu funkciju, npr. 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Primjer
Recimo da košarkaš izvodi 24 slobodna bacanja i ima utvrđenu stopu uspjeha od 75 posto (str = 0.75). Kakve su šanse da će pogoditi točno 20 od svoja 24 hica?
Prvo izračunajte (n: k) kako slijedi:
\ frac {n!} {k! (n - k)!} = \ frac {24!} {(20!) (4!)} = 10.626 \\
pk = 0,75 ^ {20} = 0,00317
(1-p) ^ {n-k} = (0,25) ^ 4 = 0,00390
Tako
P (20) = 10.626 × 0.00317 × 0.00390 = 0.1314
Ovaj igrač stoga ima 13,1 posto šanse da izvede točno 20 od 24 slobodna bacanja, u skladu s onim što bi intuicija mogla sugerirajte igračicu koja bi obično pogodila 18 od 24 slobodna bacanja (zbog utvrđene stope uspjeha od 75 posto).