Stvarni brojevi su svi brojevi na brojevnoj liniji koja se proteže od negativne beskonačnosti preko nule do pozitivne beskonačnosti. Ova konstrukcija skupa realnih brojeva nije proizvoljna, već je rezultat evolucije prirodnih brojeva koji se koriste za brojanje. Sustav prirodnih brojeva ima nekoliko nedosljednosti, a kako su izračuni postajali sve složeniji, brojevni sustav se širio kako bi udovoljio svojim ograničenjima. Kod stvarnih brojeva izračuni daju konzistentne rezultate, a malo je iznimaka ili ograničenja kakvi su bili prisutniji kod primitivnijih verzija brojevnog sustava.
TL; DR (predugo; Nisam pročitao)
Skup realnih brojeva sastoji se od svih brojeva na brojevnoj liniji. To uključuje prirodne brojeve, cijele brojeve, cijele brojeve, racionalne brojeve i iracionalne brojeve. Ne uključuje imaginarne brojeve ili složene brojeve.
Prirodni brojevi i zatvaranje
Zatvaranje je svojstvo skupa brojeva što znači da ako se dopušteni izračuni izvode na brojevima koji su članovi skupa, odgovori će biti i brojevi koji su članovi skupa. Kaže se da je set zatvoren.
Prirodni brojevi su brojevi za brojanje, 1, 2, 3..., a skup prirodnih brojeva nije zatvoren. Kako su se u trgovini koristili prirodni brojevi, odmah su se pojavila dva problema. Iako su prirodni brojevi brojali stvarne predmete, na primjer krave, ako je poljoprivrednik imao pet krava i prodao pet krava, nije bilo prirodnog broja za rezultat. Rani brojevni sustavi vrlo su brzo razvili pojam nula za rješavanje ovog problema. Rezultat je bio sustav cijelih brojeva, što je prirodni broj plus nula.
Drugi problem također je bio povezan sa oduzimanjem. Sve dok su brojevi brojali stvarne predmete poput krava, farmer nije mogao prodati više krava nego što je imao. Ali kad su brojevi postali apstraktni, oduzimanjem većih brojeva od manjih dobivali smo odgovore izvan sustava cijelih brojeva. Kao rezultat toga, uvedeni su cijeli brojevi, koji su cijeli brojevi plus negativni prirodni brojevi. Brojevni sustav sad je sadržavao cjeloviti brojevni redak, ali samo s cijelim brojevima.
Racionalni brojevi
Izračuni u zatvorenom brojevnom sustavu trebali bi dati odgovore unutar brojevnog sustava za operacije kao što su zbrajanje i množenje, ali i za njihove obrnute operacije, oduzimanje i podjela. Sustav cijelih brojeva zatvoren je za zbrajanje, oduzimanje i množenje, ali ne i za dijeljenje. Ako je cijeli broj podijeljen s drugim cijelim brojem, rezultat nije uvijek cijeli broj.
Dijeljenjem malog cijelog broja s većim dobiva se razlomak. Takvi su razlomci dodani brojevnom sustavu kao racionalni brojevi. Racionalni brojevi definirani su kao bilo koji broj koji se može izraziti kao omjer dviju cijelih brojeva. Bilo koji proizvoljan decimalni broj može se izraziti kao racionalni broj. Na primjer, 2.864 je 2864/1000, a 0.89632 je 89632 / 100.000. Činilo se da je brojevna crta sada potpuna.
Iracionalni brojevi
Na brojevnoj liniji postoje brojevi koji se ne mogu izraziti dijelom cijelih brojeva. Jedan je omjer stranica pravokutnog trokuta i hipotenuze. Ako su dvije stranice pravokutnog trokuta 1 i 1, hipotenuza je kvadratni korijen iz 2. Kvadratni korijen iz dva beskonačna je decimala koja se ne ponavlja. Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim i uključuju sve stvarne brojeve koji nisu racionalni. Ovom je definicijom brojevna linija svih realnih brojeva potpuna jer je svaki drugi stvarni broj koji nije racionalan uključen u definiciju iracionalnog.
Beskonačnost
Iako se kaže da se stvarni brojevni pravac proteže od negativne do pozitivne beskonačnosti, sama beskonačnost nije a stvaran broj, već koncept brojevnog sustava koji ga definira kao količinu veću od bilo koje broj. Matematički je beskonačnost odgovor na 1 / x kad x dosegne nulu, ali dijeljenje s nulom nije definirano. Da je beskonačnost broj, to bi dovelo do proturječnosti jer beskonačnost ne slijedi aritmetičke zakone. Na primjer, beskonačnost plus 1 još uvijek je beskonačnost.
Imaginarni brojevi
Skup realnih brojeva zatvoren je za zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje, osim za dijeljenje s nulom, što nije definirano. Set nije zatvoren barem za još jednu operaciju.
Pravila množenja u skupu realnih brojeva određuju da množenje negativnog i a pozitivan broj daje negativan broj dok množenje pozitivnih ili negativnih brojeva daje pozitivan odgovori. To znači da poseban slučaj množenja broja sam po sebi daje pozitivan broj i za pozitivne i za negativne brojeve. Inverzija ovog posebnog slučaja je kvadratni korijen pozitivnog broja, koji daje i pozitivan i negativan odgovor. Za kvadratni korijen negativnog broja nema odgovora u skupu realnih brojeva.
Koncept skupa imaginarnih brojeva bavi se pitanjem negativnih kvadratnih korijena u stvarnim brojevima. Kvadratni korijen iz minus 1 definiran je kao i, a svi zamišljeni brojevi višestruki su od i. Da bismo upotpunili teoriju brojeva, skup kompleksnih brojeva definiran je tako da uključuje sve stvarne i sve imaginarne brojeve. Stvarni brojevi mogu se i dalje vizualizirati na vodoravnoj brojevnoj crti, dok su imaginarni brojevi vertikalna brojevna crta, pri čemu se dva sijeku na nuli. Kompleksni brojevi su točke u ravnini dviju brojevnih linija, svaka sa stvarnom i zamišljenom komponentom.