Skup realnih brojeva sastoji se od svih brojeva na brojevnoj liniji. Podskupovi mogu sadržavati bilo koju zbirku brojeva, ali elementi važne podskupine trebali bi imati barem nekoliko zajedničkih karakteristika. Većina ovih podskupova korisna je samo za određene izračune, ali postoji nekoliko onih koji imaju zanimljiva svojstva i pomažu u razumijevanju funkcioniranja stvarnog brojevnog sustava.
TL; DR (predugo; Nisam pročitao)
Najvažniji podskupovi skupa realnih brojeva uključuju racionalne i iracionalne brojeve. Skup racionalnih brojeva možemo podijeliti na daljnje podskupove, uključujući prirodne brojeve, cijele brojeve i cijele brojeve. Ostale podskupine stvarnih brojeva su parni i neparni brojevi, prosti brojevi i savršeni brojevi. Sveukupno postoji beskonačan broj podskupova stvarnih brojeva.
Podskupovi stvarnih brojeva općenito
Za bilo koji skup koji sadrži količinu od n elemenata, broj podskupova je 2n. Skup realnih brojeva ima beskonačan broj elemenata, pa je stoga odgovarajući eksponencijal od 2 također beskonačan, što daje beskonačan broj podskupova.
Mnoge od ovih podskupina mogu se koristiti u radu sa sustavom stvarnih brojeva i tijekom izračunavanja, ali korisne su samo za određene svrhe. Primjerice, za izračun cijene nekoliko pizza za prijatelje može biti zanimljiv samo podskup brojeva od deset do sto. Vanjski termometar može pokazivati samo podskup temperatura od minus 40 do plus 120 stupnjeva Fahrenheita. Rad s ovakvim podskupovima je koristan jer je svaki rezultat izvan očekivanog podskupa vjerojatno pogrešan.
Općenitiji podskupovi stvarnih brojeva klasificiraju brojeve prema njihovim karakteristikama, a ti podskupovi kao rezultat imaju jedinstvena svojstva. Stvarni brojevni sustav razvio se iz podskupova kao što su prirodni brojevi koji se koriste za brojanje, a takvi podskupovi čine osnovu za razumijevanje algebre.
Podskupovi koji čine stvarne brojeve
Skup realnih brojeva čine racionalni i iracionalni brojevi. Racionalni brojevi su cijeli brojevi i brojevi koji se mogu izraziti razlomkom. Svi ostali stvarni brojevi su iracionalni i uključuju brojeve poput kvadratnog korijena iz 2 i broja pi. Budući da su iracionalni brojevi definirani kao podskup realnih brojeva, svi iracionalni brojevi moraju biti stvarni brojevi.
Racionalni brojevi mogu se podijeliti u dodatne podskupove. Prirodni brojevi su brojevi koji su se u prošlosti koristili za brojanje, a oni su niz 1, 2, 3 itd. Cijeli brojevi su prirodni brojevi plus nula. Cijeli brojevi su cijeli brojevi plus negativni prirodni brojevi.
Ostale podskupine racionalnih brojeva uključuju pojmove kao što su parni, neparni, prosti i savršeni brojevi. Parni brojevi su cjelobrojni brojevi koji kao faktor imaju 2; neparni brojevi su svi ostali cijeli brojevi. Prosti brojevi su cijeli brojevi koji kao faktore imaju samo sebe i 1. Savršeni brojevi su cijeli brojevi čiji se faktori zbrajaju s brojem. Najmanji savršeni broj je 6, a njegovi čimbenici, 1, 2 i 3 zbrajaju se u 6.
Općenito, izračuni izvedeni s realnim brojevima daju odgovore na stvarne brojeve, ali postoji iznimka. Ne postoji stvarni broj koji, ako se pomnoži, daje negativan realan broj kao odgovor. Kao rezultat, kvadratni korijen negativnog realnog broja ne može biti stvaran broj. Kvadratni korijeni negativnih realnih brojeva nazivaju se imaginarnim brojevima i oni su elementi skupa brojeva potpuno odvojeni od stvarnih brojeva.
Proučavanje podskupova realnih brojeva dio je teorije brojeva i klasificira brojeve kako bi bilo lakše razumjeti kako teorija brojeva djeluje. Upoznavanje podskupova stvarnih brojeva i njihovih svojstava dobra je osnova za daljnja matematička proučavanja.