Svaki student algebre na višim razinama mora naučiti rješavati kvadratne jednadžbe. To su vrste polinomnih jednadžbi koje uključuju snagu 2, ali nijednu veću, a imaju opći oblik:sjekira2 + bx + c= 0. To možete riješiti pomoću formule kvadratne jednadžbe, faktoriziranjem ili popunjavanjem kvadrata.
TL; DR (predugo; Nisam pročitao)
Prvo potražite faktorizaciju za rješavanje jednadžbe. Ako ne postoji samo jedanbkoeficijent je djeljiv sa 2, popunite kvadrat. Ako niti jedan pristup nije lak, upotrijebite formulu kvadratne jednadžbe.
Korištenje faktorizacije za rješavanje jednadžbe
Faktorizacija iskorištava činjenicu da je desna strana standardne kvadratne jednadžbe jednaka nuli. To znači da ako možete podijeliti jednadžbu na dva člana u zagradama pomnoženim međusobno, rješenja možete razraditi razmišljajući o tome što bi svaku zagradu imalo jednako nuli. Dati konkretan primjer:
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
Usporedite ovo sa standardnim obrascem:
sjekira ^ 2 + bx + c = 0
U primjeru,a = 1, b= 6 ic= 9. Izazov faktoriziranja je pronaći dva broja koja se zbrajaju da bi se dobio broj u
buočite i pomnožite zajedno da biste dobili broj na mjestu zac.Dakle, predstavljanje brojeva pomoćudie, tražite brojeve koji zadovoljavaju:
d + e = b
Ili u ovom slučaju, sab = 6:
d + e = 6
I
d × e = c
Ili u ovom slučaju, sac = 9:
d × e = 9
Usredotočite se na pronalaženje brojeva koji su faktoric, a zatim ih zbrojite da vidite jesu li jednakeb. Kad imate svoje brojeve, stavite ih u sljedeći format:
(x + d) (x + e)
U gornjem primjeru, obojediesu 3:
x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Ako pomnožite zagrade, opet ćete završiti s izvornim izrazom, a ovo je dobra praksa da provjerite svoju faktorizaciju. Možete proći kroz ovaj postupak (množenjem prvog, unutarnjeg, vanjskog i potom zadnjeg dijela zagrada - pogledajte Resurse za više detalja) da biste ga vidjeli obrnuto:
\ početak {poravnato} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ kraj {poravnato}
Faktorizacija učinkovito prolazi kroz ovaj proces obrnuto, ali može biti izazov razraditi ispravan način za računanje kvadratne jednadžbe, a ova metoda nije idealna za svaku kvadratnu jednadžbu za to razlog. Često morate pogoditi faktorizaciju, a zatim je provjeriti.
Problem je sada što se bilo koji od izraza u zagradama izjednači s nulom odabirom vrijednosti zax. Ako je bilo koja zagrada jednaka nuli, cijela je jednadžba jednaka nuli i vi ste pronašli rješenje. Pogledajte zadnju fazu [(x + 3) (x+ 3) = 0] i vidjet ćete da je jedina prilika kada zagrade izlaze na nulu akox= −3. U većini slučajeva, kvadratne jednadžbe imaju dva rješenja.
Faktorizacija je još izazovnija akoanije jednako jedinici, ali usredotočiti se na jednostavne slučajeve u početku je bolje.
Dovršavanje kvadrata za rješavanje jednadžbe
Ispunjavanje kvadrata pomaže vam u rješavanju kvadratnih jednadžbi koje se ne mogu lako faktorizirati. Ova metoda može raditi za bilo koju kvadratnu jednadžbu, ali neke jednadžbe joj više odgovaraju nego drugima. Pristup uključuje izradu izraza u savršeni kvadrat i njegovo rješavanje. Generički savršeni kvadrat širi se ovako:
(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
Da biste riješili kvadratnu jednadžbu popunjavanjem kvadrata, prenesite izraz u oblik s desne strane gore navedenog. Prvo podijelite broj ubpozicionirati s 2, a zatim kvadrat rezultat. Dakle, za jednadžbu:
x ^ 2 + 8x = 0
Koeficijentb= 8, dakleb÷ 2 = 4 i (b ÷ 2)2 = 16.
Dodajte ovo na obje strane da biste dobili:
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
Imajte na umu da se ovaj obrazac podudara sa savršenim kvadratnim oblikom, sad= 4, dakle 2d= 8 id2 = 16. Ovo znači to:
x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2
Umetnite ovo u prethodnu jednadžbu da biste dobili:
(x + 4) ^ 2 = 16
Sada riješite jednadžbu zax. Uzmite kvadratni korijen obje strane da biste dobili:
x + 4 = \ sqrt {16}
Oduzmite 4 s obje strane da biste dobili:
x = \ sqrt {16} - 4
Korijen može biti pozitivan ili negativan, a uzimanje negativnog korijena daje:
x = -4 - 4 = -8
Pronađite drugo rješenje s pozitivnim korijenom:
x = 4 - 4 = 0
Stoga je jedino rješenje koje nije nula −8. Potvrdite to originalnim izrazom.
Korištenje kvadratne formule za rješavanje jednadžbe
Formula kvadratne jednadžbe izgleda složenije od ostalih metoda, ali to je najpouzdanija metoda i možete je koristiti na bilo kojoj kvadratnoj jednadžbi. Jednadžba koristi simbole iz standardne kvadratne jednadžbe:
sjekira ^ 2 + bx + c = 0
I navodi da:
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Umetnite odgovarajuće brojeve na njihova mjesta i radite kroz formulu za rješavanje, sjećajući se da pokušate oduzeti i dodati kvadratni korijenski pojam i zabilježiti oba odgovora. Za sljedeći primjer:
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
Imaša = 1, b= 6 ic= 5. Dakle, formula daje:
\ početak {poravnato} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36 - 20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ end {usklađeno}
Uzimanje pozitivnog predznaka daje:
\ početak {poravnato} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ kraj {poravnato}
A uzimanje negativnog predznaka daje:
\ početak {poravnato} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ kraj {poravnato}
Koja su dva rješenja za jednadžbu.
Kako odrediti najbolju metodu za rješavanje kvadratnih jednadžbi
Potražite faktorizaciju prije nego što pokušate bilo što drugo. Ako ga možete uočiti, ovo je najbrži i najlakši način za rješavanje kvadratne jednadžbe. Ne zaboravite da tražite dva broja koja se zbrajaju nabkoeficijent i pomnoži kako bi se dobiockoeficijent. Za ovu jednadžbu:
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
Možete uočiti da je 2 + 3 = 5 i 2 × 3 = 6, pa:
x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
Ix= -2 ilix = −3.
Ako ne vidite faktorizaciju, provjerite je libkoeficijent je djeljiv sa 2 bez pribjegavanja razlomcima. Ako jest, popunjavanje kvadrata vjerojatno je najlakši način za rješavanje jednadžbe.
Ako se čini da nijedan pristup nije prikladan, upotrijebite formulu. To se čini najtežim pristupom, ali ako ste na ispitu ili ste na neki drugi način prisiljeni na vrijeme, to može učiniti postupak puno manje stresnim i puno bržim.