Schrodingerova jednadžba najosnovnija je jednadžba u kvantnoj mehanici, a učenje kako je koristiti i što ona znači presudno je za svakog nadobudnog fizičara. Jednadžba je dobila ime po Erwinu Schrödingeru, koji je 1933. dobio Nobelovu nagradu zajedno s Paulom Dirac za doprinos kvantnoj fizici.
Schrodingerova jednadžba opisuje valnu funkciju kvantno-mehaničkog sustava, koja daje vjerojatnosne informacije o smještaju čestice i drugim uočljivim količinama poput nje zamah. Najvažnija stvar koju ćete shvatiti o kvantnoj mehanici nakon što naučite jednadžbu jest da su zakoni u kvantnoj sferiJako različitood onih klasične mehanike.
Funkcija vala
Valna funkcija jedan je od najvažnijih pojmova u kvantnoj mehanici, jer je svaka čestica predstavljena valnom funkcijom. Uobičajeno je grčko slovo psi (Ψ), a to ovisi o položaju i vremenu. Kad imate izraz za valnu funkciju čestice, on vam govori sve o čemu se može znati fizički sustav, a različite vrijednosti za uočljive veličine mogu se dobiti primjenom operatora na to.
Kvadrat modula valne funkcije govori vam vjerojatnost pronalaska čestice na položajuxu određeno vrijemet. To je slučaj samo ako je funkcija "normalizirana", što znači da zbroj modula kvadrata na svim mogućim mjestima mora biti jednak 1, tj. Da je česticaizvjesnaBiti locirannegdje.
Imajte na umu da valna funkcija pruža samo vjerojatnosne informacije, tako da ne možete predvidjeti rezultat niti jednog promatranja, iako jestelimenkaodrediti prosjek tijekom mnogih mjerenja.
Za izračunavanje vrijednosti valne funkcije možete koristiti"Vrijednost očekivanja"za položaj čestice u vremenut, pri čemu je vrijednost očekivanja prosječna vrijednostxdobili biste ako biste mjerenje ponovili više puta.
Opet, ovo vam ne govori ništa o određenom mjerenju. Zapravo je valna funkcija više raspodjela vjerojatnosti za pojedinu česticu nego bilo što konkretno i pouzdano. Korištenjem odgovarajućeg operatora također možete dobiti vrijednosti očekivanja za zamah, energiju i druge vidljive veličine.
Schrodingerova jednadžba
Schrodingerova jednadžba linearna je parcijalna diferencijalna jednadžba koja opisuje razvoj a kvantno stanje na sličan način kao Newtonovi zakoni (posebno drugi zakon) u klasičnom mehanika.
Međutim, Schrodingerova jednadžba je valna jednadžba za valnu funkciju dotične čestice, pa je upotreba jednadžbe za predviđanje budućeg stanja sustava koji se ponekad naziva "mehanika valova". Jednadžba sama proizlazi iz očuvanja energije i izgrađena je oko operatora zvanog Hamiltonov.
Najjednostavniji oblik zapisivanja Schrodingerove jednadžbe je:
H Ψ = iℏ \ frac {\ djelomičnoΨ} {\ djelomično t}
Gdje je ℏ smanjena Planckova konstanta (tj. Konstanta podijeljena s 2π) iHje Hamiltonov operator, koji odgovara zbroju potencijalne energije i kinetičke energije (ukupne energije) kvantnog sustava. Hamiltonijan je i sam prilično dugačak izraz, pa se puna jednadžba može zapisati kao:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ djelomično ^ 2 Ψ} {\ djelomično x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ djelomičnoΨ} {\ djelomično t}
Napominjući da je ponekad (za eksplicitno trodimenzionalne probleme) prvi parcijalni izvod zapisan kao Laplacijev operator ∇2. U osnovi, Hamiltonian djeluje na valnu funkciju opisujući njegovu evoluciju u prostoru i vremenu. Ali u vremenski neovisnoj verziji jednadžbe (tj. Kada sustav ne ovisi ot), Hamiltonian daje energiju sustava.
Rješavanje Schrodingerove jednadžbe znači pronalaženjekvantno-mehanička valna funkcijato ga zadovoljava za određenu situaciju.
Vremenski ovisna Schrodingerova jednadžba
Vremenski ovisna Schrodingerova jednadžba verzija je iz prethodnog odjeljka i opisuje razvoj valne funkcije za česticu u vremenu i prostoru. Jednostavan slučaj za razmatranje je slobodna čestica jer je potencijalna energijaV= 0, a rješenje ima oblik ravnog vala. Ova rješenja imaju oblik:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Gdjek = 2π / λ, λje valna duljina iω = E / ℏ.
Za ostale situacije, dio izvorne jednadžbe s potencijalnom energijom opisuje granične uvjete za prostorni dio valne funkcije, a često se odvaja na funkciju vremenske evolucije i vremenski neovisnu jednadžba.
Vremenski neovisna Schrodingerova jednadžba
Za statičke situacije ili rješenja koja stvaraju stojeće valove (poput potencijalne jažice, rješenja u stilu "čestica u kutiji"), valnu funkciju možete razdvojiti na vremenske i prostorne dijelove:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
Kad ovo prođete u cijelosti, vremenski dio može se poništiti, ostavljajući oblik Schrodingerove jednadžbe kojisamoovisi o položaju čestice. Vremenski neovisna valna funkcija tada se daje sa:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
OvdjeEje energija kvantno-mehaničkog sustava, iHje Hamiltonov operator. Ovaj oblik jednadžbe ima točan oblik jednadžbe vlastite vrijednosti s valnom funkcijom koja je vlastita funkcija, a energija je vlastita vrijednost kada se primjenjuje Hamiltonov operator tome. Proširujući Hamiltonian u eksplicitniji oblik, može se u cijelosti napisati kao:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ djelomično ^ 2 Ψ} {\ djelomično x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
Vremenski dio jednadžbe sadržan je u funkciji:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Rješenja o vremenski neovisnoj Schrodingerovoj jednadžbi
Vremenski neovisna Schrodingerova jednadžba dobro se daje prilično jednostavnim rješenjima jer smanjuje puni oblik jednadžbe. Savršen primjer za to je grupa rješenja "čestica u kutiji" u kojoj se pretpostavlja da se čestica nalazi u beskonačnom kvadratnom potencijalnom zdencu u jednoj dimenziji, pa postoji nulti potencijal (tj.V= 0) u cijelom tijelu i nema šanse da se čestica nađe izvan bunara.
Tu je i konačni kvadratni zdenac, gdje potencijal na "zidovima" zdenca nije beskonačan, pa čak i ako je veći od energije čestice, postojinekimogućnost pronalaska čestice izvan nje zbog kvantnog tuneliranja. Za beskonačno potencijalnu bušotinu rješenja imaju oblik:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
GdjeLje duljina bunara.
Potencijal delta funkcije vrlo je sličan konceptu potencijalne bušotine, osim sa širinomLide na nulu (tj. bude beskonačno mala oko jedne točke) i dubina bušotine ide u beskonačnost, dok umnožak dvijuU0) ostaje konstantan. U ovoj vrlo idealiziranoj situaciji postoji samo jedno vezano stanje koje daje:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
S energijom:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Rješenje atoma vodika Schrodingerovoj jednadžbi
Konačno, otopina vodikovog atoma ima očite primjene na fiziku iz stvarnog svijeta, ali u praksi situaciju jer se elektron oko jezgre atoma vodika može smatrati prilično sličnim potencijalnoj bušotini problema. Međutim, situacija je trodimenzionalna i najbolje se opisuje sfernim koordinatamar, θ, ϕ. Rješenje u ovom slučaju daje:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
GdjeStrsu Legendreovi polinomi,Rsu specifična radijalna rješenja, iNje konstanta koju popravljate koristeći činjenicu da bi valnu funkciju trebalo normalizirati. Jednadžba daje razine energije dane kao:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
GdjeZovdje je atomski broj (dakleZ= 1 za atom vodika),eu ovom je slučaju naboj elektrona (a ne konstantae = 2.7182818...), ϵ0 je permitivnost slobodnog prostora, iμje reducirana masa koja se temelji na masama protona i elektrona u atomu vodika. Ovaj je izraz dobar za bilo koji atom sličan vodiku, što znači u bilo kojoj situaciji (uključujući ione) gdje postoji jedan elektron koji kruži oko središnje jezgre.