Trenutak tromosti (kutna i rotacijska tromost): definicija, jednadžba, jedinice

Bilo da se radi o klizaču na ledu koji je vuče za ruke i vrti se brže kao ona ili mački koja kontrolira koliko se brzo vrti tijekom pada kako bi se osiguralo da se spusti na noge, koncept momenta tromosti presudan je za fiziku rotacije pokret.

Inače poznat kao rotacijska inercija, moment tromosti je rotacijski analog mase u drugi Newtonov zakon gibanja, koji opisuje tendenciju objekta da se odupre kutnom ubrzanju.

Koncept se u početku možda neće činiti previše zanimljivim, ali u kombinaciji sa zakonom očuvanja kutnog zamah, može se koristiti za opisivanje mnogih fascinantnih fizičkih pojava i predviđanje kretanja u širokom spektru situacijama.

Moment tromosti za objekt opisuje njegovu otpornost na kutno ubrzanje, uzimajući u obzir raspodjelu mase oko njegove osi rotacije.

U biti kvantificira koliko je teško promijeniti brzinu rotacije objekta, znači li to pokretanje njegove rotacije, zaustavljanje ili promjena brzine već rotirajućeg objekta.

Ponekad se naziva rotacijska inercija, a korisno je o tome razmišljati kao o analogu mase u drugom Newtonovom zakonu:

Odnosi se ekvivalentni izraz drugom zakonu za rotacijsko gibanjeobrtni moment​ (​τ, rotacijski analog sile) do kutnog ubrzanjaαi trenutak tromostiJa​:

Isti objekt može imati više trenutaka tromosti, međutim, iako se velik dio definicije odnosi na raspodjelu mase, on također objašnjava mjesto osi rotacije.

Na primjer, dok je trenutak inercije za šipku koja se okreće oko njenog središtaJa​ = ​ML​²/ 12 (gdjeMje masa iLje duljina šipke), ista šipka koja se okreće oko jednog kraja ima trenutak tromosti koji dajeJa​ = ​ML​²/3.

Dakle, trenutak tromosti tijela ovisi o njegovoj masiM, njegov polumjerRi njegova os rotacije.

U nekim slučajevima,Roznačava se kaod, za udaljenost od osi rotacije, a kod ostalih (kao kod štapa u prethodnom odjeljku) zamjenjuje se duljinom,L. SimbolJakoristi se za moment inercije i ima jedinice kg m².

Kao što biste mogli očekivati ​​na temelju onoga što ste do sada naučili, postoji mnogo različitih jednadžbi trenutka tromosti, a svaka se odnosi na određeni oblik i određenu os rotacije. U svim momentima inercije pojamG​² pojavljuje se, iako za različite oblike ispred ovog pojma postoje različiti razlomci, au nekim slučajevima može biti više pojmova zbrajenih zajedno.

TheG​² komponenta je moment inercije za točku mase na daljiniRod osi rotacije, a jednadžba za određeno kruto tijelo gradi se kao zbroj mase bodova ili integriranjem beskonačnog broja malih točaka masa nad objektom.

Iako u nekim slučajevima može biti korisno izvesti trenutak tromosti objekta na temelju jednostavne aritmetičke zbrojne mase bodova ili pomoću integrirajući, u praksi postoji mnogo rezultata za uobičajene oblike i osi rotacije koje možete jednostavno koristiti bez potrebe za njihovim izvođenjem prvi:

Puni cilindar (os simetrije):

Puni cilindar (os središnjeg promjera ili promjer kružnog presjeka u sredini cilindra):

Čvrsta kugla (središnja os):

Tanka kuglasta ljuska (središnja os):

Obruč (os simetrije, tj. Okomito kroz središte):

Obruč (os promjera, tj. Preko promjera kruga koji čini obruč):

Šipka (središnja os, okomita na duljinu šipke):

Štap (rotirajući oko kraja):

Razumijevanje zašto postoje različite jednadžbe za svaku os rotacije ključni je korak za razumijevanje koncepta momenta inercije.

Razmislite o olovci: Možete je okretati vrteći je oko sredine, do kraja ili uvrćući je oko središnje osi. Budući da rotacijska inercija predmeta ovisi o raspodjeli mase oko osi rotacije, svaka od ovih situacija je različita i za opis je potrebna zasebna jednadžba.

Možete instinktivno shvatiti koncept trenutka inercije ako ovaj isti argument povećate do 30-metarskog stupa zastave.

Prevrtanje s kraja na kraj bilo bi vrlo teško - ako biste uopće uspjeli njime upravljati - dok bi okretanje pola oko njegove središnje osi bilo puno lakše. To je zato što okretni moment snažno ovisi o udaljenosti od osi rotacije i o 30 stopa Primjer stupa zastave, vrteći ga preko kraja uključuje svaki krajnji kraj udaljen 15 metara od osi rotacija.

Međutim, ako ga vrtite oko središnje osi, sve je prilično blizu osi. Situacija je slična nošenju teškog predmeta na dohvat ruke vs. držeći ga uz tijelo ili upravljajući polugom s kraja vs. blizu uporišta.

Zbog toga vam je potrebna drugačija jednadžba za opisivanje momenta tromosti za isti objekt ovisno o osi rotacije. Odabrana os utječe na udaljenost dijelova tijela od osi rotacije, iako masa tijela ostaje ista.

Ključ za izračunavanje momenta inercije za kruto tijelo je učenje korištenja i primjene odgovarajućih jednadžbi.

Razmotrite olovku iz prethodnog odjeljka koja se vrti od kraja do kraja oko središnje točke duž njezine duljine. Iako nijesavršenštap (šiljati vrh, na primjer, lomi ovaj oblik) može se modelirati kao takav da vam uštedi puni trenutak izvođenja inercije za objekt.

Dakle, modelirajući objekt kao štap, koristili biste sljedeću jednadžbu za pronalaženje trenutka inercije, kombinirane s ukupnom masom i duljinom olovke:

Veći je izazov pronaći trenutak inercije za složene predmete.

Na primjer, uzmimo u obzir dvije kuglice povezane zajedno šipkom (što ćemo zbog pojednostavljenja problema tretirati kao bez mase). Lopta jedna ima 2 kg i smještena je 2 m od osi rotacije, a lopta dva je 5 kg mase i 3 m udaljena od osi rotacije.

U ovom slučaju, trenutak inercije za ovaj složeni objekt možete pronaći tako da svaku kuglu smatrate točkovnom masom i radite iz osnovne definicije koja:

S tim da indeksi jednostavno razlikuju različite predmete (tj. Kuglu 1 i kuglu 2). Objekt s dvije kugle tada bi imao:

Kutni moment (rotacijski analog za linearni moment) definiran je kao umnožak rotacijske inercije (tj. Momenta tromosti,Ja) predmeta i njegove kutne brzineω), koja se mjeri u stupnjevima / s ili rad / s.

Nesumnjivo ćete biti upoznati sa zakonom očuvanja linearnog zamaha, a kutni zamah također se čuva na isti način. Jednadžba kutnog momentaL) je:

Razmišljanje o tome što to u praksi znači objašnjava mnoge fizičke pojave, jer (u nedostatku drugih sila), što je veća rotacijska inercija objekta, to je niža njegova kutna brzina.

Razmotrite klizač koji se okreće konstantnom kutnom brzinom s ispruženim rukama i imajte na umu da mu se ispružene ruke povećavaju radijusRo čemu je raspoređena njegova masa, što dovodi do većeg momenta tromosti nego da su mu ruke blizu tijela.

AkoL​₁ izračunava se raširenih ruku iL​₂, nakon uvlačenja ruku mora imati istu vrijednost (jer je kutni zamah sačuvan), što se događa ako crtanjem u rukama smanji svoj moment inercije? Njegova kutna brzinaωpovećava kako bi nadoknadio.

Mačke izvode slične pokrete kako bi im pomogle da padnu na noge.

Ispruživši noge i rep, povećavaju svoj trenutak inercije i smanjuju brzinu rotacije, i obrnuto, mogu uvlačiti noge kako bi smanjili svoj trenutak tromosti i povećali brzinu rotacije. Koriste ove dvije strategije - zajedno s ostalim aspektima svog "refleksa ispravljanja" - kako bi osigurali da im stopala doskoče prvo, a možete vidjeti različite faze sklupčanja i istezanja na time-lapse fotografijama mačke slijetanje.

Nastavljajući paralele između linearnog gibanja i rotacijskog gibanja, objekti također imaju rotacijsku kinetičku energiju na isti način na koji imaju linearnu kinetičku energiju.

Razmislite o lopti koja se kotrlja po tlu, okrećući se oko svoje središnje osi i linearno se krećući prema naprijed: Ukupna kinetička energija lopte zbroj je njene linearne kinetičke energijeE​_k i njegova rotacijska kinetička energijaE​_istrunuti. Paralele između ove dvije energije odražavaju se u jednadžbama za obje, sjećajući se da je to objekt moment tromosti je rotacijski analog mase, a njegova kutna brzina rotacijski analog linearnog brzinav​):

Jasno možete vidjeti da obje jednadžbe imaju potpuno isti oblik, s odgovarajućim rotacijskim analogima koji su zamijenjeni rotacijskom jednadžbom kinetičke energije.

Naravno, da biste izračunali kinetičku energiju rotacije, morat ćete objekt zamijeniti odgovarajućim izrazom trenutka inercije u prostor zaJa. Uzimajući u obzir kuglu i modelirajući objekt kao čvrstu kuglu, jednadžba je u ovom slučaju da je:

Ukupna kinetička energija (E​_mališan) je zbroj ove i kinetičke energije lopte, pa možete napisati:

Za kuglu od 1 kg koja se kreće linearnom brzinom od 2 m / s, polumjerom 0,3 m i kutnom brzinom od 2π rad / s, ukupna energija bila bi:

Ovisno o situaciji, objekt može posjedovati samo linearnu kinetičku energiju (na primjer, kugla koja je pala s visina kojoj nije dodan spin) ili samo kinetička energija rotacije (lopta koja se vrti, ali ostaje na mjestu).

Zapamtite da jeukupnoenergija koja se čuva. Ako se lopta udari nogom u zid bez početne rotacije i ona se odbije natrag nižom brzinom, ali s dodanim okretanjem, kao i energija izgubljen za zvuk i toplinu kad je stupio u kontakt, dio početne kinetičke energije prebačen je u rotacijsku kinetičku energiju, pa je takone možeeventualno kretati brzo kao prije odskoka.