U algebri su nizovi brojeva dragocjeni za proučavanje onoga što se događa jer nešto postaje sve veće ili manje. Aritmetički niz definiran je zajedničkom razlikom, koja je razlika između jednog broja i sljedećeg u nizu. Za aritmetičke nizove ta je razlika konstantna vrijednost i može biti pozitivna ili negativna. Kao rezultat, aritmetički slijed nastavlja se povećavati ili smanjivati za fiksni iznos svaki put kad se novi broj doda na popis koji čini taj niz.
TL; DR (predugo; Nisam pročitao)
Aritmetički niz je popis brojeva u kojima se uzastopni pojmovi razlikuju za konstantnu količinu, zajedničku razliku. Kad je uobičajena razlika pozitivna, slijed se povećava za fiksni iznos, dok je ako je negativan, niz se smanjuje. Ostale uobičajene sekvence su geometrijske sekvence u kojima se pojmovi razlikuju po zajedničkom faktoru i Fibonaccijeve sekvence u kojima je svaki broj zbroj dva prethodna broja.
Kako djeluje aritmetički niz
Aritmetički niz definiran je početnim brojem, zajedničkom razlikom i brojem članaka u nizu. Na primjer, aritmetički niz koji započinje s 12, uobičajena razlika od 3 i pet pojmova je 12, 15, 18, 21, 24. Primjer padajućeg niza je onaj koji započinje brojem 3, zajedničkom razlikom od -2 i šest članaka. Ovaj slijed je 3, 1, -1, 3, 5, 7.
Aritmetički nizovi također mogu imati beskonačan broj članaka. Na primjer, prva gornja sekvenca s beskonačnim brojem pojmova bila bi 12, 15, 18,... a taj se slijed nastavlja u beskonačnost.
Aritmetička sredina
Aritmetički niz ima odgovarajući niz koji dodaje sve članove niza. Kad se dodaju pojmovi i zbroj podijeli s brojem pojmova, rezultat je aritmetička sredina ili prosjek. Formula za aritmetičku sredinu je
\ text {znači} = \ frac {\ text {zbroj} n \ text {pojmovi}} {n}
Brzi način izračunavanja srednje vrijednosti aritmetičkog niza je korištenje opažanja koje je prvo i posljednje dodaju se pojmovi, zbroj je isti kao kad se dodaju drugi i sljedeći pojmovi ili treći i treći koji traju Pojmovi. Kao rezultat toga, zbroj niza je zbroj prvog i zadnjeg pojmova puta polovine broja pojmova. Da bi se dobila srednja vrijednost, zbroj se dijeli s brojem članaka, pa je sredina aritmetičkog niza polovica zbroja prvog i posljednjeg člana. ZanPojmovia1 doan, odgovarajuća formula za srednju vrijednost m je
m = \ frac {a_1 + a_n} {2}
Beskonačne aritmetičke sekvence nemaju posljednji pojam, pa je stoga njihova sredina nedefinirana. Umjesto toga, sredina za djelomični zbroj može se pronaći ograničavanjem zbroja na definirani broj pojmova. U tom se slučaju djelomični zbroj i njegova sredina mogu naći na isti način kao i za nekonačni niz.
Ostale vrste sekvenci
Nizovi brojeva često se temelje na promatranjima iz pokusa ili mjerenjima prirodnih pojava. Takvi nizovi mogu biti slučajni brojevi, ali često se nizovi pokažu kao aritmetički ili drugi poredani popisi brojeva.
Na primjer, geometrijski nizovi razlikuju se od aritmetičkih nizova jer imaju zajednički faktor, a ne zajedničku razliku. Umjesto da se broj dodaje ili oduzima za svaki novi pojam, broj se množi ili dijeli svaki put kad se doda novi pojam. Slijed koji je 10, 12, 14,... jer aritmetički niz sa zajedničkom razlikom od 2 postaje 10, 20, 40,... kao geometrijski niz sa zajedničkim faktorom 2.
Ostale se sekvence slijede potpuno drugačija pravila. Na primjer, pojmovi Fibonaccijeve sekvence nastaju dodavanjem prethodna dva broja. Njegov slijed je 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Izrazi se moraju dodati pojedinačno da bi se dobio djelomični zbroj jer brza metoda dodavanja prvog i zadnjeg pojma ne funkcionira za ovaj slijed.
Aritmetički nizovi su jednostavni, ali imaju primjenu u stvarnom životu. Ako je početna točka poznata i može se pronaći zajednička razlika, može se izračunati vrijednost serije u određenoj točki u budućnosti, a može se odrediti i prosječna vrijednost.