U matematici je niz bilo koji niz brojeva poredanih u redoslijedu povećavanja ili smanjivanja. Slijed postaje geometrijski niz kada svaki broj možete dobiti množenjem prethodnog broja zajedničkim faktorom. Na primjer, serije 1, 2, 4, 8, 16... je geometrijski niz sa zajedničkim faktorom 2. Ako bilo koji broj iz niza pomnožite s 2, dobit ćete sljedeći broj. Suprotno tome, slijed 2, 3, 5, 8, 14, 22... nije geometrijski jer ne postoji zajednički faktor između brojeva. Geometrijski niz može imati frakcijski zajednički faktor, u kojem je slučaju svaki sljedeći broj manji od onog koji mu prethodi. 1, 1/2, 1/4, 1/8... je primjer. Njegov zajednički faktor je 1/2.
Činjenica da geometrijski niz ima zajednički faktor omogućuje vam dvije stvari. Prvo je izračunavanje bilo kojeg slučajnog elementa u nizu (koji matematičari vole nazivati "nth "element), a drugi je pronaći zbroj geometrijskog niza donth element. Kada zbrojite niz stavljajući znak plus između svakog para pojmova, pretvorite niz u geometrijski niz.
Pronalaženje n-tog elementa u geometrijskoj seriji
Općenito, možete prikazati bilo koji geometrijski niz na sljedeći način:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
gdje "a"je prvi pojam u seriji i"r"je uobičajeni faktor. Da biste to provjerili, razmotrite seriju u kojoja= 1 ir= 2. Dobivate 1 + 2 + 4 + 8 + 16... radi!
Nakon što smo to utvrdili, sada je moguće izvesti formulu za n-ti pojam u nizu (xn).
x_n = ar ^ {(n-1)}
Eksponent jen- 1 umjestonkako bi se omogućilo da se prvi pojam u nizu zapiše kaoar0, što je jednako "a."
Provjerite to izračunavanjem 4. člana u primjeru serije.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
Izračunavanje zbroja geometrijskog niza
Ako želite sažeti divergentni niz, onaj koji ima zajednički obrok veći od 1 ili manji od -1, to možete učiniti samo do konačnog broja članaka. Međutim, moguće je izračunati zbroj beskonačnog konvergentnog niza koji ima zajednički omjer između 1 i - 1.
Da biste razvili formulu geometrijske sume, započnite razmatranjem onoga što radite. Tražite ukupno sljedeći niz dodataka:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
Svaki pojam u seriji jeark, ikide od 0 don− 1. Formula za zbroj niza koristi se velikim sigma znakom - ∑ - što znači dodati sve pojmove iz (k= 0) do (k = n − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
Da biste to provjerili, uzmite u obzir zbroj prva 4 člana geometrijskog niza koji počinju na 1 i imaju zajednički faktor 2. U gornjoj formuli,a = 1, r= 2 in= 4. Priključujući ove vrijednosti, dobivate:
1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15
To je lako provjeriti dodavanjem brojeva u seriji. U stvari, kad vam treba zbroj geometrijskog niza, obično je lakše sami dodati brojeve kad postoji samo nekoliko pojmova. Ako serija ima velik broj članaka, daleko je lakše koristiti formulu geometrijskog zbroja.