Baš kao u algebri, kad započnete učiti trigonometriju, skupit ćete skupove formula korisnih za rješavanje problema. Jedan od takvih skupova su identiteti s polukutom, koje možete koristiti u dvije svrhe. Jedan je pretvoriti trigonometrijske funkcije (θ/ 2) u funkcije u smislu poznatijih (i kojima se lakše manipulira)θ. Drugi je pronalazak stvarne vrijednosti trigonometrijskih funkcijaθ, kadaθmože se izraziti kao polovica poznatijeg kuta.
Pregledavanje polukutnih identiteta
Mnogi će udžbenici matematike navesti četiri primarna identiteta s pola kuta. Ali primjenom kombinacije algebre i trigonometrije, ove se jednadžbe mogu umasirati u brojne korisne oblike. Ne morate sve to napamet zapamtiti (osim ako vaš učitelj inzistira), ali trebali biste barem razumjeti kako ih koristiti:
Polukutni identitet za sinus
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Polukutni identitet za Cosine
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Polukutni identiteti za tangentu
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ
Polukutni identiteti za kotangens
\ dječji krevetić \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ krevetić \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ dječji krevetić \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ dječji krevetić \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ
Primjer korištenja polukutnih identiteta
Pa kako se koriste identiteti s pola kuta? Prvi korak je prepoznavanje da imate posla s kutom koji je polovica poznatijeg kuta.
- I kvadrant: sve trig funkcije
- Kvadrant II: samo sinus i kosekant
- Kvadrant III: samo tangenta i kotangens
- Kvadrant IV: samo kosinus i sekunda
zamislite da se od vas traži da pronađete sinus kuta 15 stupnjeva. To nije jedan od kutova za koje će većina učenika pamtiti vrijednosti trig funkcija. Ali ako pustite da 15 stupnjeva bude jednako θ / 2, a zatim riješite θ, vidjet ćete sljedeće:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Budući da je rezultirajući θ, 30 stupnjeva, poznatiji kut, ovdje će vam biti korisna formula polukuta.
Budući da je od vas zatraženo da nađete sinus, možete odabrati samo jednu formulu s pola kuta:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Zamjena uθ/ 2 = 15 stupnjeva iθ= 30 stupnjeva daje vam:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Ako bi se od vas zatražilo da pronađete tangentu ili kotangens, obje koje na pola umnožavaju načine izražavanja svog polovičnog identiteta, jednostavno biste odabrali verziju koja je izgledala najlakše za raditi.
Znak ± na početku nekih identiteta s pola kuta znači da bi dotični korijen mogao biti pozitivan ili negativan. Tu dvosmislenost možete riješiti koristeći svoje znanje o trigonometrijskim funkcijama u kvadrantima. Evo kratkog pregleda o tome koje se trig funkcije vraćajupozitivanvrijednosti u kojima kvadranti:
Budući da u ovom slučaju vaš kut θ predstavlja 30 stupnjeva, što pada u kvadrantu I, znate da će vrijednost sinusa koju dobije biti pozitivna. Tako možete ispustiti znak ± i jednostavno procijeniti:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Zamjena u poznatoj, poznatoj vrijednosti cos (30). U ovom slučaju koristite točne vrijednosti (za razliku od decimalnih aproksimacija s grafikona):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
Zatim pojednostavnite desnu stranu jednadžbe kako biste pronašli vrijednost za grijeh (15). Započnite množenjem izraza pod radikalom sa 2/2, što vam daje:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
Ovo pojednostavljuje na:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Zatim možete izvaditi kvadratni korijen iz 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
U većini slučajeva ovo je otprilike onoliko koliko biste pojednostavili. Iako rezultat možda nije užasno lijep, sinus nepoznatog kuta pretočili ste u točnu količinu.