Za razliku od jednakostraničnog trokuta s tri jednake stranice i kutovima, jednakokračni s dvije jednake stranice ili pravokutni trokut sa svojim kutom od 90 stupnjeva, skaleni trokut ima tri stranice slučajnih duljina i tri slučajna kuta. Ako želite znati njegovo područje, trebate napraviti nekoliko mjerenja. Ako možete izmjeriti duljinu jedne stranice i okomitu udaljenost te strane na suprotni kut, imate dovoljno podataka za izračunavanje površine. Također je moguće izračunati površinu ako znate duljine sve tri stranice. Određivanje vrijednosti jednog od kutova kao i duljina dviju stranica koje ga čine također vam omogućuje izračunavanje površine.
TL; DR (predugo; Nisam pročitao)
Površina skalenog trokuta s bazom b i visinom h dana je 1/2 bh. Ako znate duljine sve tri stranice, možete izračunati površinu pomoću Heronove formule bez potrebe za pronalaženjem visine. Ako znate vrijednost kuta i duljine dviju stranica koje ga čine, duljinu treće stranice možete pronaći pomoću Zakona kosinusa, a zatim pomoću Heronove formule izračunati površinu.
Opća formula za pronalaženje područja
Razmotrimo slučajni trokut. Oko njega je moguće ispisati pravokutnik koji za osnovu koristi jednu od stranica (nije važno koju) i samo dodiruje vrh trećeg kuta. Duljina ovog pravokutnika jednaka je duljini stranice trokuta koji ga tvori, a koja se naziva osnovica (b). Njegova širina jednaka je okomitoj udaljenosti od baze do vrha, koja se naziva visina (h) trokuta.
Područje pravokutnika koje ste upravo nacrtali jednako jeb × h. Međutim, ako pregledate linije trokuta, vidjet ćete da dijele par pravokutnika stvorenih okomitom linijom od osnove do vrha točno na pola. Dakle, površina unutar trokuta točno je upola manja od one izvan njega, odnosno 1/2bh. Za bilo koji trokut:
\ text {Područje} = \ frac {1} {2} \ text {baza} × \ text {visina}
Heronina formula
Matematičari su tisućljećima znali izračunati površinu trokuta s tri poznate stranice. Koriste Heroninu formulu, nazvanu po Heronu Aleksandrijskom. Da biste koristili ovu formulu, prvo morate pronaći polovični perimetar (s) trokuta, što činite dodavanjem svih triju stranica i dijeljenjem rezultata s dvije. Za trokut sa stranamaa, bic, pola perimetra
s = \ frac {1} {2} (a + b + c)
Jednom kad znates, izračunavate površinu pomoću ove formule:
\ text {Područje} = \ sqrt {s (s - a) (s - b) (s - c)}
Koristeći zakon kosinusa
Razmotrimo trokut s tri kutaA, BiC. Duljine triju strana sua, bic. Stranica a je suprotnog kutaA, stranabje suprotni kutB, i sa stranecje suprotni kutC. Ako znate jedan od kutova - na primjer, kutC- i dvije strane koje ga čine - u ovom slučaju,aib- možete izračunati duljinu treće strane pomoću ove formule:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \ cos (C)
Jednom kad spoznate vrijednostc, možete izračunati površinu pomoću Heronove formule.