Jeste li se ikad zapitali kako su povezane trigonometrijske funkcije poput sinusa i kosinusa? Oboje se koriste za izračunavanje stranica i kutova u trokutima, ali odnos ide i dalje od toga.Kofunkcijski identitetidajte nam specifične formule koje pokazuju kako pretvoriti između sinusa i kosinusa, tangente i kotangense te sekanse i kosekanta.
TL; DR (predugo; Nisam pročitao)
Sinus kuta jednak je kosinusu njegovog komplementa i obrnuto. To vrijedi i za druge kofunkcije.
Jednostavan način da se prisjetite koje su funkcije kofunkcije jest da su to tri trig funkcijekofunkcijeako jedan od njih ispred sebe ima prefiks "co-". Tako:
- sinus isuradniksinusi susuradnikfunkcije.
- tangenta isuradniktangente susuradnikfunkcije.
- sekant isuradniksekanti susuradnikfunkcije.
Možemo izračunati naprijed-natrag između kofunkcija pomoću ove definicije: Vrijednost funkcije kuta jednaka je vrijednosti kofunkcije komplementa.
To zvuči komplicirano, ali umjesto da razgovaramo o vrijednosti funkcije općenito, poslužimo se određenim primjerom. The
sinuskuta jednako jekosinusnjegove dopune. A isto vrijedi i za ostale kofunkcije: Tangenta kuta jednaka je kotangensi njegovog komplementa.Zapamtite: Dva su kutanadopunjujeako zbroje do 90 stupnjeva.
Identiteti kofunkcije u stupnjevima:
(Primijetite da 90 ° -xdaje nam dopunu kutova.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ dječji krevetić (90 ° - x) \\ \ dječji krevetić (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Identiteti kofunkcije u radijanima
Imajte na umu da stvari možemo pisati i u smisluradijani, što je SI jedinica za mjerenje kutova. Devedeset stupnjeva isto je što i π / 2 radijana, tako da i kofunkcijske identitete možemo zapisati ovako:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ dječji krevetić \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ dječji krevetić (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Dokaz identiteta kofunkcije
Sve ovo zvuči lijepo, ali kako možemo dokazati da je to istina? Testiranje na nekoliko primjera trokuta može vam pomoći da se osjećate sigurnim u to, ali postoji i rigorozniji algebarski dokaz. Dokažimo identitete kofunkcije za sinus i kosinus. Radit ćemo u radijanima, ali to je isto kao da koristimo stupnjeve.
Dokaz:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Prije svega, vratite se u svoje sjećanje na ovu formulu, jer ćemo je koristiti u svom dokazu:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
Razumiješ? U REDU. Sada dokažimo: grijeh (x) = cos (π / 2 - x).
Možemo prepisati cos (π / 2 -x) kao ovo:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( x)
jer znamo
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {i} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Tako
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
Ta-da! Sad to dokažimo kosinusom!
Dokaz:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Još jedna eksplozija iz prošlosti: Sjećate li se ove formule?
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
Upravo ćemo ga upotrijebiti. Sada dokažimo:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Možemo prepisati grijeh (π / 2 -x) kao ovo:
\ početak {poravnato} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ kraj {poravnato}
jer znamo
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {i} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Tako smo dobili
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Kalkulator kofunkcije
Isprobajte nekoliko primjera samostalnog rada s kofunkcijama. Ali ako zapnete, Math Celebrity ima kalkulator kofunkcije koji prikazuje korak-po-korak rješenja problema s kofunkcijom.
Sretna kalkulacija!