Ako vidite izraze 32 i 53, mogli biste s procvatom najaviti da to znače "tri na kvadrat" i "pet kockica", i moći ići u pronalaženju ekvivalentnih brojeva bez eksponenti, brojevi predstavljeni natpisima u gornjem desnom dijelu gore. Ti su brojevi u ovom slučaju 9 i 125.
Ali što ako umjesto, recimo, jednostavne eksponencijalne funkcije poput y = x 3, umjesto toga morate riješiti jednadžbu poput y = 3x. Ovdje se x, zavisna varijabla, pojavljuje kao eksponent. Postoji li način da tu varijablu povučete s njezina mjesta da biste je lakše riješili matematički?
Zapravo postoji, a odgovor se krije u prirodnom komplementu eksponenata, koji su zabavne i korisne količine poznate kao logaritmi.
Što su eksponenti?
An eksponent, također nazvan a vlast, je komprimirani način izražavanja ponovljenog množenja broja sam od sebe. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Bilo koji broj podignut u stepen 1 zadržava istu vrijednost; bilo koji broj s eksponentom 0 jednak je 1. Na primjer, 721 = 72; 720 = 1.
Eksponenti mogu biti negativni, stvarajući odnos
x−n= 1 / (xn). Mogu se izraziti i razlomcima, npr. 2(5/3). Ako su izraženi kao razlomci, i brojnik i nazivnik moraju biti cjelobrojni brojevi.Što su logaritmi?
Logaritmi ili "dnevnici" mogu se smatrati eksponentima izraženima kao nešto drugo od potencije. To vjerojatno ne pomaže puno, pa možda i jedan ili dva primjera.
U izrazu 103 = 1,000, broj 10 je baza, i podiže se na treću stepen (ili snaga od tri). To možete izraziti kao: "baza 10 podignuta na treću stepen jednaka je 1.000."
Primjer logaritma je zapisnik10(1,000) = 3. Imajte na umu da su brojevi i njihovi međusobni odnosi isti kao u prethodnom primjeru, ali su pomaknuti. Riječima to znači: "baza dnevnika 10 od 1.000 jednako je 3."
Količina s desne strane je snaga na koju se baza 10 mora podići da bi se izjednačila s argument, ili unos dnevnika, vrijednost u zagradama (u ovom slučaju 1.000). Ova vrijednost mora biti pozitivna, jer je baza - koja može biti broj koji nije 10, ali se pretpostavlja da je 10 kada se izostavlja, npr. "Log 4" - također uvijek pozitivna.
Korisna pravila za logaritam
Pa kako možete lako raditi između dnevnika i eksponenata? Nekoliko pravila o ponašanju dnevnika može vam započeti rješavanje problema s eksponentima.
log_ {b} (xy) = log_ {b} {x} + log_ {b} y log_ {b} (\ dfrac {x} {y}) = log_ {b} {x} \ text {-} log_ { b} y log_ {b} (x ^ A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)
Rješavanje eksponenta
Uz gornje informacije spremni ste pokušati riješiti eksponent u jednadžbi.
Primjer: Ako je 50 = 4x, što je x?
Ako odnesete dnevnik na bazu 10 svake strane i izostavite eksplicitnu identifikaciju baze, to postaje log 50 = log 4x. Iz gornjeg okvira znate da je zapisnik 4x = x log 4. Ovo vam ostavlja
log 50 = x log 4, ili x = (log 50) / (log 4).
Koristeći odabrani kalkulator ili elektronički uređaj ustanovit ćete da je rješenje (1.689 / 0.602) = 2.82.
Rješavanje eksponencijalnih jednadžbi s e
Ista pravila vrijede i kada je baza e, takozvani prirodni logaritam, koja ima vrijednost oko 2,7183. Trebali biste imati gumb za to i na vašem kalkulatoru. I ova vrijednost dobiva vlastiti zapis: logex je napisano jednostavno "ln x".
- Funkcija y = ex i, s e nije varijabla, već konstanta s ovom vrijednošću, jedina je funkcija s nagibom jednakim vlastitoj visini za sve x i y.
- Baš kao trupac1010x = x, ln ex = x za sve x.
Primjer: Riješi jednadžbu 16 = e2,7x.
Kao i gore, ln 16 = ln e2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, dakle x = 2/77 / 2,7 = 1.03.