Kvadratni korijeni često se nalaze u matematičkim i prirodoslovnim problemima, a svaki učenik treba pokupiti osnove kvadratnih korijena kako bi se pozabavio tim pitanjima. Kvadratni korijeni pitaju "koji broj, ako se pomnoži, daje sljedeći rezultat", i kao takav za njihovo razrađivanje potrebno je da o brojevima razmišljate na malo drugačiji način. Međutim, lako možete razumjeti pravila kvadratnih korijena i odgovoriti na sva pitanja koja ih uključuju, bez obzira zahtijevaju li izravan izračun ili samo pojednostavljenje.
TL; DR (predugo; Nisam pročitao)
Kvadratni korijen pita vas koji broj, ako se pomnoži, daje rezultat nakon simbola √. Dakle, √9 = 3 i √16 = 4. Svaki korijen tehnički ima pozitivan i negativan odgovor, ali u većini slučajeva pozitivan je odgovor onaj koji će vas zanimati.
Kvadratne korijene možete računati poput običnih brojeva, tako da √ab = √a √bili √6 = √2√3.
Što je kvadratni korijen?
Kvadratni korijeni suprotni su od "kvadriranja" broja ili njegovog množenja. Na primjer, tri na kvadrat je devet (32 = 9), pa je kvadratni korijen devet tri. U simbolima je ovo
\ sqrt {9} = 3
Simbol "√" govori vam da uzmete kvadratni korijen broja, a to možete pronaći na većini kalkulatora.
Zapamtite da svaki broj zapravo imadvakvadratni korijeni. Tri pomnožena s tri jednako je devet, ali negativna tri pomnožena s negativna tri također je jednako devet, dakle
3 ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9 \ text {i} \ sqrt {9} = ± 3
s ± stojeći u znaku "plus ili minus". U mnogim slučajevima možete zanemariti negativne kvadratne korijene brojeva, ali ponekad je važno imati na umu da svaki broj ima dva korijena.
Od vas će se možda zatražiti da uzmete "korijen kocke" ili "četvrti korijen" broja. Korijen kocke je broj koji je, kad se pomnoži sa sobom dva puta, jednak izvornom broju. Četvrti korijen je broj koji je tri puta pomnožen sa sobom jednak izvornom broju. Poput kvadratnih korijena, i oni su suprotni od uzimanja snage brojeva. Dakle, 33 = 27, a to znači da je korijen kocke od 27 3, ili
\ sqrt [3] {27} = 3
Simbol "∛" predstavlja korijen kocke broja koji dolazi iza njega. Korijeni se ponekad izražavaju i kao razlomljene moći, pa
\ sqrt {x} = x ^ {1/2} \ text {i} \ sqrt [3] {x} = x ^ {1/3}
Pojednostavljivanje četvrtastih korijena
Jedno od najizazovnijih zadataka koje ćete možda morati obaviti s kvadratnim korijenima jest pojednostavljivanje velikih kvadratnih korijena, ali samo trebate slijediti neka jednostavna pravila da biste riješili ta pitanja. Kvadratne korijene možete faktorirati na isti način kao i obične brojeve. Tako na primjer 6 = 2 × 3, dakle
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
Pojednostavljivanje većih korijena podrazumijeva faktorizaciju korak po korak i pamćenje definicije kvadratnog korijena. Na primjer, √132 je veliki korijen i možda će biti teško vidjeti što učiniti. Međutim, lako možete vidjeti da je djeljiv s 2, pa možete pisati
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
Međutim, 66 je također djeljiv s 2, tako da možete napisati:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
U ovom slučaju, kvadratni korijen broja pomnožen s drugim kvadratnim korijenom samo daje izvorni broj (zbog definicije kvadratnog korijena), pa
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
Ukratko, kvadratne korijene možete pojednostaviti pomoću sljedećih pravila
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a
Koji je kvadratni korijen ...
Koristeći gornje definicije i pravila, možete pronaći kvadratne korijene većine brojeva. Evo nekoliko primjera koje treba razmotriti.
Kvadratni korijen od 8
To se ne može izravno pronaći jer nije kvadratni korijen cijelog broja. Međutim, korištenje pravila za pojednostavljenje daje:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
Kvadratni korijen iz 4
Ovo koristi jednostavni kvadratni korijen iz 4, koji je √4 = 2. Problem se može točno riješiti pomoću kalkulatora, a √8 = 2,8284 ...
Kvadratni korijen iz 12
Koristeći isti pristup, pokušajte razraditi kvadratni korijen iz 12. Podijelite korijen na čimbenike, a zatim pogledajte možete li ga ponovno podijeliti na čimbenike. Pokušajte ovo kao problem iz prakse, a zatim pogledajte rješenje u nastavku:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
Ponovno, ovaj pojednostavljeni izraz može se upotrijebiti u problemima po potrebi ili se izračuna točno pomoću kalkulatora. Kalkulator to pokazuje
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….
Kvadratni korijen iz 20
Kvadratni korijen 20 može se naći na isti način:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721….
Kvadratni korijen od 32
Na kraju, uhvatite se u koštac s kvadratnim korijenom od 32 koristeći isti pristup:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
Ovdje imajte na umu da smo kvadratni korijen od 8 već izračunali kao 2√2, a da je √4 = 2, pa:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5,657 ...
Kvadratni korijen negativnog broja
Iako definicija kvadratnog korijena znači da negativni brojevi ne bi trebali imati kvadratni korijen (jer se bilo koji broj pomnožio sam po sebi daje pozitivan broj kao rezultat), matematičari su ih susreli kao dio problema u algebri i osmislili riješenje. "Zamišljeni" brojise koristi u značenju "kvadratni korijen od minus 1", a svi drugi negativni korijeni izraženi su kao umnožcii. Tako
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
Ti su problemi izazovniji, ali možete ih naučiti rješavati na temelju definicijeii standardna pravila za korijenje.
Primjeri pitanja i odgovora
Testirajte svoje razumijevanje kvadratnih korijena pojednostavljivanjem po potrebi, a zatim izračunavanjem sljedećih korijena:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
Pokušajte ih riješiti prije nego što pogledate donje odgovore:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt { 10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8.637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4.899 \\ \ sqrt {27 } = \ sqrt {3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5.196