U matematici se kontraprimjer koristi za opovrgavanje tvrdnje. Ako želite dokazati da je neka tvrdnja istinita, morate napisati dokaz kako biste dokazali da je uvijek istinita; davanje primjera nije dovoljno. U usporedbi s pisanjem dokaza, pisanje protuprimjera mnogo je jednostavnije; ako želite pokazati da izjava nije istinita, trebate navesti samo jedan primjer scenarija u kojem je izjava netačna. Većina protuprimjera u algebri uključuju numeričke manipulacije.
Dva razreda matematike
Ispitivanje i pronalaženje protuprimjera dva su osnovna razreda matematike. Većina se matematičara usredotočuje na pisanje dokaza radi razvijanja novih teorema i svojstava. Kada se tvrdnje ili nagađanja ne mogu dokazati istinitima, matematičari ih opovrgavaju davanjem protuprimjera.
Protuprimjeri su konkretni
Umjesto korištenja varijabli i apstraktnih zapisa, možete koristiti numeričke primjere za opovrgavanje argumenta. U algebri većina kontraprimjera uključuje manipulaciju pomoću različitih pozitivnih i negativnih ili neparnih i neparnih brojeva, ekstremnih slučajeva i posebnih brojeva poput 0 i 1.
Dovoljan je jedan protuprimjer
Filozofija kontraprimjera je da ako u jednom scenariju izjava ne vrijedi, onda je izjava netačna. Primjer koji nije iz matematike je "Tom nikada nije rekao laž." Da biste pokazali da je ova izjava istinita, morate pružiti "dokaz" da Tom nikada nije izrekao laž prateći svaku izjavu koju je Tom ikad dao. Međutim, da biste opovrgnuli ovu izjavu, trebate pokazati samo jednu laž koju je Tom ikada izgovorio.
Poznati kontraprimjeri
"Svi prosti brojevi su neparni." Iako su gotovo svi prosti brojevi, uključujući sve proste brojeve iznad 3, neparni, "2" je prost broj koji je paran; ova je izjava lažna; "2" je odgovarajući protuprimjer.
"Oduzimanje je komutativno." I zbrajanje i množenje su komutativni - mogu se izvesti u bilo kojem redoslijedu. Odnosno, za bilo koji realni broj a i b, a + b = b + a i a * b = b * a. Međutim, oduzimanje nije komutativno; protuprimjer koji dokazuje da je: 3 - 5 nije jednako 5 - 3.
"Svaka kontinuirana funkcija može se razlikovati." Apsolutna funkcija | x | je kontinuiran za sve pozitivne i negativne brojeve; ali se ne može razlikovati pri x = 0; budući da | x | je kontinuirana funkcija, ovaj protuprimjer dokazuje da nije svaka kontinuirana funkcija diferencijabilna.