Kutni zamah: definicija, jednadžba, jedinice (sa dijagramima i primjerima)

Razmotrite scenu: Vi i prijatelj, zbog problema koji su izvan vaše kontrole, stojite na vrhu duge, nizbrdo nagnute rampe. Svatko od vas dobio je loptu u radijusu točno 1 m. Rečeno vam je da je vaš izrađen od jednolikog materijala nalik na pjenu i mase 5 kg. Lopta vašeg prijatelja također ima masu od 5 kg, što potvrđujete praktičnom vagom.

Vaš se prijatelj želi kladiti da ako istodobno pustite dvije kuglice, vaša će prvo doći do dna. U iskušenju ste da tvrdite da će, budući da kuglice imaju istu masu i isti radijus (a time i volumen), gravitacijom ubrzati niz rampu do iste brzine tijekom spuštanja. Ali nešto zaustavlja vaš "zamah" u klađenju, a vi se ne kladite ...

... mudro, kako se ispostavlja. Iako u početku nema smisla, lopta vašeg prijatelja, po svemu sudeći vaš blizanac, kreće se niz rampu sporije od vaše. Nakon završetka eksperimenta zahtijevate da se kuglice demontiraju i pregledaju znakovi prevare. Umjesto toga, sve što otkrijete je da je 5 kg mase u lopti vašeg prijatelja bilo zatvoreno u tanku ljusku oko vanjske strane, s unutarnjom šupljinom.

Što je s gore opisanom konfiguracijom naginje vrijednost v u korist vaše lopte? Kako se događa, baš takosnagepromijenilinearni zamahpredmeta slinearna brzina​, ​okretni momentipromijenikutni momentpredmeta skutna brzina​.

Čvrsti kotrljajući objekt ima i linearni i kutni moment, jer kako se njegovo središte mase kreće konstantnom brzinom v (jednako do tangencijalne brzine kugle ili kotača), svaki drugi dio predmeta rotira se oko tog centra mase kutnom brzinom ω.

Kako se masa raspoređuje unutar predmeta, nema utjecaja na njegov linearni zamah, već izvrsno određuje njegov kutni zamah. To čini kroz "nalik masi" (za rotacijske svrhe) veličine koja se naziva moment inercije, veće vrijednosti što podrazumijeva i veće poteškoće u pokretanju nečega što se okreće i veće poteškoće u zaustavljanju nakon što to već bude rotacioni.

Kutni zamah mjera je koliko je teško promijeniti rotacijsko gibanje objekta. Ovisi o momentu tromosti objekta i njegovoj kutnoj brzini. Kutni moment je očuvana veličina, što znači da je zbroj kutnih impulsa čestica u zatvorenom sustavu uvijek jednak, čak i onaj koji pojedinačne čestice mogu fluktuirati.

Kao što je napomenuto, kutni zamah također je funkcija raspodjele mase oko osi. Da biste to stekli intuitivno, zamislite da stojite 1 metar od središta ogromne vrtuljke koja napravi jednu revoluciju svakih 10 sekundi. Sad zamislite da stojite na istoj konturi s istom kutnom brzinom 1miljaod centra. Ne treba mnogo mašte da bismo shvatili razliku u kutnom momentu u ova dva scenarija.

​Kutni moment je umnožak momenta inercije pomnožen s njegovom kutnom brzinom, ili:
​

gdjeL= kutni moment u kg ∙ m²/s,Ja= moment tromosti u kg ∙ m², i ω = kutna brzina u radijanima u sekundi (rad / s).

• ​Janaziva se i drugim trenutkom površine.

Imajte na umu da se rasprava proširila od točkaste mase do čvrstog tijela, poput cilindra ili kugle, koje se okreću oko osi. Središte mase predmeta često nije u njegovom središtugeometrijskisredište, pa vrijednosti odJaovise o načinu raspodjele mase predmeta. Često je to simetrično, ali ne i jednoliko, poput šupljeg diska sa svom masom u tankoj traci s vanjske strane (drugim riječima, prstena).

Vektor kutnog gibanja usmjeren je duž osi rotacije, okomito na ravninu koju činer, kružno "pometanje" bilo koje točke u objektu kroz prostor.

Referentni grafikon za vrijednostJajer se različiti uobičajeni oblici nalaze u Resursima. Koristite ih za početak rada s nekoliko osnovnih problema s kutnim momentom.

• Imajte na umu daJaza sfernu ljusku je (2/3) mr² dok je sfera (2/5) mr². Vraćajući se na ulog u uvodu, sada možete vidjeti da lopta vašeg prijatelja ima (2/3) / (2/5) = 1,67 puta trenutak inercije kao vaš vlastiti, što objašnjava vašu pobjedu u "utrci".

1. Disk s rotacijskom inercijomJaod 1,5 kg ∙ m²/ s rotira oko osi s kutnom brzinomωod 8 rad / s. Koji je njegov kutni zamahL​?

2. Tanka šipka duljine 15 m, mase 5 kg - recimo kazaljka masivnog sata - okreće se oko točke učvršćene na jednom kraju kutnom brzinomωod 2π rad / 60 s = (π / 30) rad / s. Koliki je njegov kutni zamahL​?

Ovaj put morate potražiti vrijednostJa. Za tanku šipku koja se kreće na ovaj način,Ja= (1/3) mr²​.

Usporedite to s odgovorom u prvom primjeru. Iznenađuje li vas ovo? Zašto ili zašto ne?

"Očuvanje" znači nešto malo drugačije u fizici nego što je to u području ekosustava. To jednostavno znači da je ukupna količina sačuvanih količina (energija, zamah, masa i inercija "velika četvorka" (konzervirane veličine u fizici) u sustavu, uključujući svemir, uvijek ostaje isti. Ako pokušate "eliminirati" energiju, ona se jednostavno pojavi u drugom obliku, a svaki pokušaj "stvaranja" oslanja se na već postojeći izvor.

Zakon očuvanja kutne količine gibanja kaže da se u zatvorenom sustavu ukupni kutni moment ne može mijenjati. Budući da kutni moment ovisi o kutnoj brzini i momentu tromosti, može se predvidjeti kako se bilo koja od ovih veličina mora promijeniti u odnosu jedna na drugu u datoj situaciji.

• Formalno, budući da se obrtni moment može izraziti kaoτ= dL/ dt (brzina promjene ako je kutni moment s vremenom), kada je zbroj zakretnih momenta u sustavu nula, tada je dL/ dt također mora biti nula i ne dolazi do promjene kutnog momenta u sustavu tijekom vremenskog okvira u kojem se sustav procjenjuje. Suprotno tome, ako L nije konstanta, to podrazumijeva neravnotežu okretnih momenta u sustavu (tj.τ_netojenejednak nuli).

Ovo je važan koncept u mnogim primjerima mehanike iz svakodnevnog života. Klasičan primjer je klizačica na ledu: kad skoči u zrak kako bi napravila trostruku akselu, čvrsto uvlači udove. To smanjuje njezin ukupni radijus oko osi rotacije, mijenjajući njezin raspored mase tako da se njezin moment inercije smanjuje (sjetite se,Japroporcionalan je mr²​).

Budući da je kutni moment sačuvan, međutim, akoJasmanjuje, njezina se kutna brzina mora povećati; ovako se vrti dovoljno brzo da izvrši nekoliko rotacija u zraku! Kada sleti, radi obrnuto - raširi udove, mijenja svoj raspored mase kako bi povećao svoj trenutak inercije, usporavajući zauzvrat brzinu rotacije (kutnu brzinu).

Sveukupno, kutni zamah sustava je konstantan, ali varijablama koje određuju veličinu kutnog zamaha može se manipulirati i imati strateški učinak, kao u ovom slučaju.

Počevši od 1600-ih, Isaac Newton krenuo je u učinkovitu revoluciju u matematičkoj fizici. Nakon što je izmislio račun, bio je u dobroj poziciji da iznosi formalne tvrdnje o vjerojatno univerzalnim zakonima koji upravljaju kretanjem predmeta, kako translacijskim (linearno i kroz prostor), tako i rotacijskim (ciklički i oko) os).

• Raznozakoni o očuvanjukoji se kasnije puno spominju nisu Newtonova djeca, ali između njih i zakona gibanja postoje značajni odnosi.

​Newtonov prvi zakonnavodi da će objekt koji miruje ili se kreće konstantnom brzinom ostati u ovom stanju ukoliko na objekt ne djeluje vanjska sila. To se također nazivazakon tromosti.​

​Newtonov drugi zakontvrdi da neto silaF_netodjeluje na česticu s masomm, težit će promjeni brzine ili ubrzanju te mase. Taj poznati odnos matematički se izražava kaoF_neto= ma​.

​Treći Newtonov zakonkaže da za svaku silu koja postoji u prirodi postoji sila jednaka veličine, ali usmjerena u potpuno suprotnom smjeru. Ovaj zakon ima važne implikacije na očuvana svojstva kretanja, uključujući kutni moment.

Sada je izvrsno vrijeme za pregled prirode, pravila i odnosa između njihsila​, ​zamah(masa pomnožena s brzinom) ienergije, koji informiraju ne samo rasprave o kutnom zamahu već i svemu ostalom u klasičnoj fizici.

Kao što je napomenuto, osim ako objekt ne iskusi vanjsku silu (ili u slučaju rotirajućeg objekta, vanjski moment), njegovo kretanje ostaje nepromijenjeno. Međutim, na Zemlji je gravitacija gotovo uvijek u kombinaciji, kao i oni koji manje doprinose zračnom otporu i raznim vrstama trenja sile, tako da se ništa jednostavno ne nastavlja kretati ako mu se povremeno ne da energija da nadomjesti ono što je "zauzeto" tim kroničnim "kretanjem" lopovi."

Da pojednostavimo, čestica imaukupna energijakoja se sastoji odunutarnja energija(npr. vibracija njegovih molekula) imehanička energija. Mehanička energija je zbroj okretnostipotencijalna energija(PE; "pohranjena" energija, obično gravitacijom) ikinetička energija(KE; energija kretanja). Korisno je da PE + KE + IE = konstanta za sve sustave, bilo to točkovnu masu (jedna čestica) ili razne mase koje zvižde, u interakciji.

Kad čujete pojmove povezane s kretanjem, poput brzine, ubrzanja, pomaka i impulsa, vjerojatno pretpostavljate da je kontekst linearno gibanje. Rotacijsko gibanje zapravo ima svoje jedinstvene, ali analogne veličine.

Dok se linearni pomak mjeri u metrima (m) u SI jedinicama, kutni pomak mjeri se u radijanima (2π rad = 360 stupnjeva). Prema tome,kutna brzinamjeri se u rad / s, a predstavlja gaω, grčko slovo omega.

Međutim, kako se točkovna masa kreće oko svoje osi rotacije, uz kutnu brzinu, čestica iscrtava i kružni put zadanom brzinom, slično linearnom kretanju. Ova stopa jetangencijalna brzina​ ​v_t​​,a jednak je rω,gdjerje radijus ili udaljenost od osi rotacije.

S tim u vezi,kutno ubrzanje​ ​α(Grčka alfa) je brzina promjene kutne brzineωa mjeri se u rad / s². Tu je icentripetalno ubrzanje​ ​a_cDan odv_t²/r,koji je usmjeren prema unutra prema osi rotacije.

• Dok se raspravlja o kutnom momentu, pandan mvu linearnom smislu, uskoro će se temeljito raspraviti, znajte da je jedna od njegovih komponenata,Ja, može se smatrati rotacijskim analogom mase.

Kutni moment, poput sile, pomaka, brzine i ubrzanja, jevektorska količina, jer takve varijable uključuju obje amagnitude(tj. broj) i asmjer, često dani izrazi njegovih pojedinačnih x-, y- i z-komponenata. Količine koje sadrže samo numerički element, poput mase, vremena, energije i rada, poznate su kaoskalarne veličine​.