Euklidska udaljenost je udaljenost između dvije točke u euklidskom prostoru. Euklidski prostor izvorno je osmislio grčki matematičar Euklid oko 300. pne. za proučavanje odnosa kutova i udaljenosti. Ovaj je sustav geometrije i danas u upotrebi i on je koji srednjoškolci najčešće uče. Euklidska geometrija posebno se odnosi na prostore dvije i tri dimenzije. Međutim, lako se može generalizirati na dimenzije višeg reda.
Izračunajte euklidsku udaljenost za jednu dimenziju. Udaljenost između dvije točke u jednoj dimenziji jednostavno je apsolutna vrijednost razlike između njihovih koordinata. Matematički je to prikazano kao | p1 - q1 | gdje je p1 prva koordinata prve točke, a q1 prva koordinata druge točke. Koristimo apsolutnu vrijednost ove razlike budući da se udaljenost obično smatra samo negativnom vrijednošću.
Uzmimo dvije točke P i Q u dvodimenzionalnom euklidskom prostoru. Opisat ćemo P s koordinatama (p1, p2), a Q s koordinatama (q1, q2). Sada konstruirajte odsječak linije s krajnjim točkama P i Q. Ovaj će odsječak pravca činiti hipotenuzu pravokutnog trokuta. Proširujući rezultate dobivene u koraku 1, napominjemo da su duljine krakova ovog trokuta dane s | p1 - q1 | i | p2 - q2 |. Tada će se udaljenost između dviju točaka dati kao duljina hipotenuze.
Koristite Pitagorin teorem da odredite duljinu hipotenuze u koraku 2. Ovaj teorem navodi da je c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 gdje je c duljina hipotenuze pravokutnog trokuta, a a, b duljine ostale dvije katete. To nam daje c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Udaljenost između 2 točke P = (p1, p2) i Q = (q1, q2) u dvodimenzionalnom prostoru je dakle ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Proširite rezultate koraka 3 na trodimenzionalni prostor. Udaljenost između točaka P = (p1, p2, p3) i Q = (q1, q2, q3) tada se može dati kao ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Generalizirajte rješenje u koraku 4 za udaljenost između dvije točke P = (p1, p2,..., pn) i Q = (q1, q2,..., qn) u n dimenzija. Ovo općenito rješenje može se dati kao ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 +... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).