सीजी की गणना कैसे करें

गुरुत्वाकर्षण के केंद्र पर चर्चा करने से पहले, आइए कुछ मापदंडों को मान लें। एक, कि आप किसी ऐसी वस्तु के साथ व्यवहार कर रहे हैं जो पृथ्वी की सतह पर है, न कि कहीं अंतरिक्ष में। और दो, कि वस्तु काफी छोटी है - कहते हैं, एक अंतरिक्ष यान नहीं जो पृथ्वी पर खड़ा है, जो उड़ान भरने की प्रतीक्षा कर रहा है। एक बार जब उन सभी अलौकिक प्रभावों को समाप्त कर दिया जाता है, तो आप ज्यामितीय वस्तुओं के लिए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की गणना करने के लिए एक अच्छी स्थिति में होते हैं अपेक्षाकृत सरल सूत्र - और वास्तव में, उन स्थितियों के कारण जो अभी निर्धारित हैं, आप गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को खोजने के लिए उसी सूत्र का उपयोग करेंगे जैसे कि सेंटर ऑफ मास।

द्वि-आयामी विमान में गुरुत्वाकर्षण का केंद्र आमतौर पर निर्देशांक (x .) द्वारा दर्शाया जाता है_{तटरक्षक}, यू_{तटरक्षक}) या कभी-कभी चर द्वाराएक्सतथाआपउनके ऊपर एक पट्टी के साथ। साथ ही, "गुरुत्वाकर्षण केंद्र" शब्द को कभी-कभी cg में संक्षिप्त किया जाता है।

कुछ आंकड़ों के संतुलन के केंद्र को निर्धारित करने के लिए आपकी गणित या भौतिकी पाठ्यपुस्तक में अक्सर चार्ट होंगे। लेकिन कुछ सामान्य ज्यामितीय आकृतियों के लिए, आप उस आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को खोजने के लिए उपयुक्त गुरुत्वाकर्षण केंद्र सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

त्रिभुजों के लिए, गुरुत्वाकर्षण का केंद्र उस बिंदु पर बैठता है जहाँ तीनों माध्यिकाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। यदि आप त्रिभुज के एक शीर्ष से प्रारंभ करते हैं और फिर दूसरी भुजा के मध्य बिंदु तक एक सीधी रेखा खींचते हैं, तो वह एक माध्यिका होती है। अन्य दो शीर्षों के लिए भी ऐसा ही करें, और वह बिंदु जहां तीनों माध्यिकाएं प्रतिच्छेद करती हैं, त्रिभुज का गुरुत्व केंद्र है।

और निश्चित रूप से, उसके लिए एक सूत्र है। यदि त्रिभुज के गुरुत्व केंद्र के निर्देशांक हैं (x .)_{तटरक्षक}, यू_{तटरक्षक}), आप इसके निर्देशांक इस प्रकार पाते हैं:

कहाँ (x₁, यू₁), (एक्स₂, यू₂) और (एक्स₃, यू₃) त्रिभुज के तीन शीर्षों के निर्देशांक हैं। आपको यह चुनने के लिए मिलता है कि कौन सा शीर्ष किस नंबर को सौंपा गया है।

क्या आपने देखा कि किसी त्रिभुज का गुरुत्व केंद्र ज्ञात करने के लिए, आप केवल x-निर्देशांक के मान का औसत निकालते हैं, फिर y-निर्देशांक के मान को औसत करें, और अपने गुरुत्वाकर्षण केंद्र के निर्देशांक के रूप में दो परिणामों का उपयोग करें?

एक आयत के लिए गुरुत्वाकर्षण का केंद्र खोजने के लिए, आप ठीक यही काम करते हैं। लेकिन अपनी गणना को और भी आसान बनाने के लिए, मान लें कि आयत वर्गाकार रूप से कार्टेशियन की ओर उन्मुख है समतल समन्वय करें (इसलिए यह एक कोण पर सेट नहीं है), और यह कि इसका निचला बायां शीर्ष. के मूल में है ग्राफ। उस स्थिति में, खोजने के लिए (x_{तटरक्षक}, यू_{तटरक्षक}) एक आयत के लिए, आपको केवल गणना करनी है:

यदि आप अपने आयत को निर्देशांक तल के मूल स्थान पर स्थानांतरित नहीं करना चाहते हैं या यदि किसी कारण से यह बिल्कुल वर्गाकार नहीं है कुल्हाड़ियों को समन्वयित करें, आप इस थोड़े डरावने-दिखने वाले, लेकिन फिर भी प्रभावी, सूत्र का सामना कर सकते हैं, इसके सभी एक्स-निर्देशांकों को औसत करने के लिए x. का_{तटरक्षक}, और y का मान ज्ञात करने के लिए सभी y-निर्देशांकों का औसत निकालिए_{तटरक्षक}:

क्या होगा यदि आपको पहले उल्लेखित सभी धारणाओं को फिट करने वाले आकार के लिए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र की गणना करने की आवश्यकता है (मूल रूप से, आप शाब्दिक रॉकेट विज्ञान करने की कोशिश नहीं कर रहे हैं अंतरिक्ष में वस्तुओं के लिए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का पता लगाकर), लेकिन यह किसी भी श्रेणी में नहीं आता है या आपके पीछे के चार्ट में उल्लिखित है पाठ्यपुस्तक? फिर आप अपने आकार को अधिक परिचित आकृतियों में विभाजित कर सकते हैं, और उनके सामूहिक गुरुत्वाकर्षण केंद्र को खोजने के लिए निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं:

या इसे दूसरे तरीके से रखने के लिए, x_{तटरक्षक} खंड के क्षेत्रफल को x-अक्ष पर उसके स्थान के 1 गुणा के बराबर करता है, खंड के क्षेत्र में उसके स्थान का 2 गुना जोड़ा जाता है, और इसी तरह जब तक आप सभी अनुभागों के क्षेत्र समय स्थान को जोड़ नहीं देते; फिर उस पूरी राशि को सभी वर्गों के कुल क्षेत्रफल से विभाजित करें। फिर y के लिए भी ऐसा ही करें।

​प्रश्न: मैं प्रत्येक अनुभाग का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करूं?अपने जटिल या अनियमित आकार को अधिक परिचित बहुभुजों में विभाजित करने से आप क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए मानकीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपने उस आकृति को आयताकार टुकड़ों में विभाजित किया है, तो आप प्रत्येक टुकड़े का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र लंबाई × चौड़ाई का उपयोग कर सकते हैं।

​प्रश्न: प्रत्येक अनुभाग का "स्थान" क्या है?प्रत्येक खंड का स्थान उस खंड के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से उपयुक्त समन्वय है। तो अगर आप चाहते हैं₂ (खंड 2 के लिए स्थान), आपको वास्तव में उस खंड के गुरुत्वाकर्षण केंद्र के लिए y-निर्देशांक प्रदान करने की आवश्यकता है। फिर, यही कारण है कि आप एक अजीब आकार की वस्तु को अधिक परिचित आकृतियों में उप-विभाजित करते हैं, क्योंकि आप इसका उपयोग कर सकते हैं प्रत्येक आकृति के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को खोजने के लिए पहले से ही चर्चा किए गए सूत्र, और फिर उपयुक्त निर्देशांक निकालें (एस)।

​प्रश्न: निर्देशांक तल पर मेरी आकृति कहाँ जाती है?आपको यह चुनने का अवसर मिलता है कि आपका आकार निर्देशांक तल पर कहाँ बैठता है - बस ध्यान रखें कि आपके उत्तर का गुरुत्वाकर्षण केंद्र उसी संदर्भ बिंदु के संबंध में होगा। अपनी वस्तु को अपने ग्राफ़ के पहले चतुर्थांश में रखना सबसे आसान है, जिसका निचला किनारा x-अक्ष के विरुद्ध है और y-अक्ष के विरुद्ध बायां किनारा ताकि सभी x- और y-मान धनात्मक हों, लेकिन इतना छोटा भी हो कि प्रबंधनीय।

यदि आप एक ही वस्तु के साथ काम कर रहे हैं, तो अंतर्ज्ञान और थोड़ा तर्क कभी-कभी आपको इसके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को खोजने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक फ्लैट डिस्क पर विचार कर रहे हैं, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र डिस्क का केंद्र होगा। एक सिलेंडर में, यह सिलेंडर के अक्ष पर मध्य बिंदु है। एक आयत (या वर्ग) के लिए, यह वह बिंदु है जहाँ विकर्ण रेखाएँ अभिसरण करती हैं।

आपने यहां एक पैटर्न देखा होगा: यदि विचाराधीन वस्तु में समरूपता की रेखा है, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र उस रेखा पर होगा। और अगर इसमें समरूपता की कई कुल्हाड़ियाँ हैं, तो गुरुत्वाकर्षण का केंद्र वह होगा जहाँ वे कुल्हाड़ियाँ प्रतिच्छेद करती हैं।

अंत में, यदि आप वास्तव में एक जटिल वस्तु के लिए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को खोजने की कोशिश कर रहे हैं, तो आपके पास दो विकल्प हैं: या तो अपने सर्वोत्तम कैलकुलस इंटीग्रल को कोड़ा मारें (देखें ट्रिपल इंटीग्रल के लिए संसाधन जो एक गैर-समान द्रव्यमान के लिए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र का प्रतिनिधित्व करते हैं) या अपने डेटा को एक उद्देश्य-निर्मित केंद्र-गुरुत्वाकर्षण में इनपुट करते हैं कैलकुलेटर। (रेडियो-नियंत्रित विमानों के लिए केंद्र-के-गुरुत्वाकर्षण कैलकुलेटर के उदाहरण के लिए संसाधन देखें।)