यदि आपको गणित की विषमताएँ पसंद हैं, तो आपको पास्कल का त्रिभुज पसंद आएगा। 17 वीं शताब्दी के फ्रांसीसी गणितज्ञ ब्लेज़ पास्कल के नाम पर, और पास्कल से पहले कई शताब्दियों तक चीनियों के लिए जाना जाता है, यह वास्तव में एक विषमता से अधिक है। यह संख्याओं की एक विशिष्ट व्यवस्था है जो बीजगणित और संभाव्यता सिद्धांत में अविश्वसनीय रूप से उपयोगी है। इसकी कुछ विशेषताएं उपयोगी होने की तुलना में अधिक हैरान करने वाली और दिलचस्प हैं। वे संख्याओं और गणित द्वारा वर्णित दुनिया के रहस्यमय सामंजस्य को चित्रित करने में मदद करते हैं।
पास्कल के त्रिभुज के निर्माण का नियम इससे आसान नहीं हो सकता। शीर्ष पर नंबर एक से शुरू करें और इसके नीचे दूसरी पंक्ति को एक जोड़ी के साथ बनाएं। तीसरी और बाद की सभी पंक्तियों को बनाने के लिए, शुरुआत में और अंत में एक डालकर शुरू करें। इस जोड़े के बीच के दो अंकों को इसके ठीक ऊपर जोड़कर प्रत्येक अंक प्राप्त करें। तीसरी पंक्ति इस प्रकार 1, 2, 1 है, चौथी पंक्ति 1, 3, 3, 1 है, पाँचवीं पंक्ति 1, 4, 6, 4, 1 और इसी तरह है। यदि प्रत्येक अंक एक बॉक्स पर कब्जा कर लेता है जो अन्य सभी बॉक्स के समान आकार का होता है, तो व्यवस्था एक परिपूर्ण होती है समबाहु त्रिभुज जो दो भुजाओं से एक से घिरा होता है और जिसका आधार पंक्ति की संख्या के बराबर होता है। पंक्तियाँ सममित हैं कि वे एक ही पीछे और आगे पढ़ती हैं।
पास्कल ने त्रिभुज की खोज की, जो सदियों से फारसी और चीनी दार्शनिकों के लिए जाना जाता था, जब वह अभिव्यक्ति (x + y) के बीजीय विस्तार का अध्ययन कर रहा था।नहीं. जब आप इस व्यंजक को nवें घात तक विस्तारित करते हैं, तो विस्तार में पदों के गुणांक त्रिभुज की nवीं पंक्ति की संख्याओं के अनुरूप होते हैं। उदाहरण के लिए, (एक्स + वाई)0 = 1; (एक्स + वाई)1 = एक्स + वाई; (एक्स + वाई)2 = एक्स2 + 2xy + y2 और इसी तरह। इस कारण से, गणितज्ञ कभी-कभी व्यवस्था को द्विपद गुणांकों का त्रिभुज कहते हैं। बड़ी संख्या में n के लिए, त्रिभुज से विस्तार गुणांकों को पढ़ने की तुलना में उनकी गणना करना स्पष्ट रूप से आसान है।
मान लीजिए कि आप एक सिक्के को एक निश्चित संख्या में उछालते हैं। आप चित और पट के कितने संयोजन प्राप्त कर सकते हैं? आप पास्कल के त्रिभुज में उस पंक्ति को देखकर पता लगा सकते हैं जो उस संख्या से मेल खाती है जब आप सिक्के को उछालते हैं और उस पंक्ति में सभी संख्याओं को जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप सिक्के को 3 बार उछालते हैं, तो 1 + 3 + 3 + 1 = 8 संभावनाएँ हैं। इसलिए एक ही परिणाम को लगातार तीन बार प्राप्त करने की प्रायिकता 1/8 है।
इसी तरह, आप पास्कल के त्रिभुज का उपयोग करके यह पता लगा सकते हैं कि आप किसी दिए गए सेट से वस्तुओं या विकल्पों को कितने तरीकों से जोड़ सकते हैं। मान लीजिए आपके पास 5 गेंदें हैं, और आप जानना चाहते हैं कि आप उनमें से दो को कितने तरीकों से चुन सकते हैं। बस पाँचवीं पंक्ति पर जाएँ और उत्तर खोजने के लिए दूसरी प्रविष्टि को देखें, जो कि 5 है।