सिक्का फ्लिप से जुड़ी बुनियादी संभाव्यता समस्याओं को कैसे हल करें?

सबसे पहले, ध्यान दें कि समस्या संभवतः "निष्पक्ष" सिक्के के संदर्भ में होगी। इसका मतलब यह है कि हम एक "चाल" सिक्के के साथ काम नहीं कर रहे हैं, जैसे कि एक निश्चित तरफ से अधिक बार उतरने के लिए भारित किया गया है।

दूसरा, इस तरह की समस्याओं में कभी भी किसी प्रकार की मूर्खता शामिल नहीं होती है, जैसे कि सिक्का अपने किनारे पर उतरना। कभी-कभी छात्र कुछ दूर की कौड़ी के कारण किसी प्रश्न को शून्य और शून्य मानने की पैरवी करने की कोशिश करते हैं। समीकरण में कुछ भी न लाएं जैसे हवा-प्रतिरोध, या लिंकन के सिर का वजन उसकी पूंछ से अधिक है, या ऐसी कोई चीज। हम यहां 50/50 से निपट रहे हैं। किसी और चीज की बात करने से शिक्षक वास्तव में परेशान हो जाते हैं।

इस सब के साथ, यहाँ एक बहुत ही सामान्य प्रश्न है: "एक उचित सिक्का लगातार पांच बार सिर पर उतरता है। क्या संभावना है कि यह अगले फ्लिप पर सिर पर उतरेगा?" प्रश्न का उत्तर केवल 1/2 या 50% या 0.5 है। बस। कोई अन्य उत्तर गलत है।

आप अभी जो सोच रहे हैं, उसके बारे में सोचना बंद कर दें। एक सिक्के का प्रत्येक फ्लिप पूरी तरह से स्वतंत्र है। सिक्के की कोई स्मृति नहीं होती। सिक्का किसी दिए गए परिणाम से "ऊब" नहीं जाता है, और किसी और चीज़ पर स्विच करने की इच्छा रखता है, और न ही किसी विशेष परिणाम को जारी रखने की कोई इच्छा है क्योंकि यह "चालू" है एक रोल।" यह सुनिश्चित करने के लिए, जितनी बार आप एक सिक्का फ्लिप करेंगे, आप फ्लिप के 50% के करीब पहुंचेंगे, लेकिन इसका अभी भी किसी भी व्यक्ति से कोई लेना-देना नहीं है पलटना इन विचारों में वह शामिल है जिसे जुआरी की भ्रांति के रूप में जाना जाता है। अधिक के लिए संसाधन अनुभाग देखें।

यहाँ एक और सामान्य प्रश्न है: "एक निष्पक्ष सिक्के को दो बार फ़्लिप किया जाता है। क्या संभावना है कि यह दोनों फ्लिप पर सिर पर उतरेगा?" हम यहां दो स्वतंत्र घटनाओं के साथ काम कर रहे हैं, एक "और" स्थिति के साथ। अधिक सरलता से कहा जाए तो, सिक्के के प्रत्येक फ्लिप का किसी अन्य फ्लिप से कोई लेना-देना नहीं है। इसके अतिरिक्त, हम ऐसी स्थिति से निपट रहे हैं जहां हमें एक चीज होने की जरूरत है, "और" दूसरी चीज।

उपरोक्त जैसी स्थितियों में, हम दो स्वतंत्र संभावनाओं को एक साथ गुणा करते हैं। इस संदर्भ में, "और" शब्द का अनुवाद गुणन में किया जाता है। प्रत्येक फ्लिप में सिर पर उतरने का 1/2 मौका होता है, इसलिए हम 1/4 प्राप्त करने के लिए 1/2 गुणा 1/2 गुणा करते हैं। इसका मतलब है कि हर बार जब हम इस दो-फ्लिप प्रयोग का संचालन करते हैं, तो हमारे पास परिणाम के रूप में हेड-हेड प्राप्त करने का 1/4 मौका होता है। ध्यान दें कि हम इस समस्या को दशमलव के साथ भी कर सकते थे, 0.5 गुणा 0.5 = 0.25 प्राप्त करने के लिए।

इस लेख में चर्चा किए गए प्रश्न का अंतिम मॉडल यहां दिया गया है: "एक उचित सिक्का लगातार 20 बार फ़्लिप किया जाता है। क्या संभावना है कि यह हर बार सिर पर उतरेगा? एक घातांक का उपयोग करके अपना उत्तर व्यक्त करें।" जैसा कि हमने पहले देखा, हम स्वतंत्र घटनाओं के लिए "और" स्थिति से निपट रहे हैं। हमें हेड होने के लिए पहला फ्लिप चाहिए, और दूसरा फ्लिप हेड होना चाहिए, और तीसरा फ्लिप, आदि।

हमें 1/2 गुणा 1/2 गुणा 1/2 की गणना करनी चाहिए, कुल 20 बार दोहराया जाना चाहिए। इसका प्रतिनिधित्व करने का सबसे सरल तरीका बाईं ओर दिखाया गया है। इसे (1/2) बढ़ाकर 20वीं घात कर दिया गया है। घातांक अंश और हर दोनों पर लागू होता है। चूँकि १ से २० की घात केवल १ है, हम अपना उत्तर केवल १ से विभाजित (२ से २०वीं घात) के रूप में भी लिख सकते हैं।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि उपरोक्त घटित होने की वास्तविक संभावना एक मिलियन में लगभग एक होती है। हालांकि यह संभावना नहीं है कि किसी एक विशेष व्यक्ति को इसका अनुभव होगा, अगर आप हर एक से पूछें अमेरिकी इस प्रयोग को ईमानदारी और सटीक रूप से करने के लिए, काफी संख्या में लोग रिपोर्ट करेंगे सफलता।

छात्रों को यह सुनिश्चित करना चाहिए कि वे इस लेख में चर्चा की गई मूल संभाव्यता अवधारणाओं के साथ काम करने में सहज हैं क्योंकि वे अक्सर सामने आते हैं।