समीकरणों की प्रणाली रसायन विज्ञान से लेकर व्यवसाय से लेकर खेल तक, सभी प्रकार के क्षेत्रों में वास्तविक जीवन के प्रश्नों को हल करने में मदद कर सकती है। उन्हें हल करना सिर्फ आपके गणित के ग्रेड के लिए महत्वपूर्ण नहीं है; यह आपका बहुत समय बचा सकता है चाहे आप अपने व्यवसाय या अपनी खेल टीम के लिए लक्ष्य निर्धारित करने का प्रयास कर रहे हों।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
रेखांकन द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए, एक ही निर्देशांक तल पर प्रत्येक रेखा को ग्राफ़ करें और देखें कि वे कहाँ प्रतिच्छेद करते हैं।
वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग
उदाहरण के लिए, कल्पना करें कि आप और आपका मित्र नींबू पानी स्टैंड स्थापित कर रहे हैं। आप विभाजित करने और जीतने का फैसला करते हैं, इसलिए जब आप अपने परिवार के सड़क के किनारे पर रहते हैं तो आपका दोस्त पड़ोस बास्केटबॉल कोर्ट में जाता है। दिन के अंत में, आप अपना पैसा जमा करते हैं। साथ में, आपने $200 कमाए हैं, लेकिन आपके मित्र ने आपसे $50 अधिक कमाए हैं। आप में से प्रत्येक ने कितना पैसा कमाया?
या बास्केटबॉल के बारे में सोचें: 3-पॉइंट लाइन के बाहर किए गए शॉट्स 3 पॉइंट के लायक हैं, 3-पॉइंट लाइन के अंदर बने बास्केट 2 पॉइंट के लायक हैं और फ्री थ्रो केवल 1 पॉइंट के लायक हैं। आपका प्रतिद्वंद्वी आपसे 19 अंक आगे है। पकड़ने के लिए आप टोकरियों का कौन-सा संयोजन बना सकते हैं?
रेखांकन द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करें
रेखांकन समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के सबसे सरल तरीकों में से एक है। आपको बस इतना करना है कि दोनों रेखाओं को एक ही निर्देशांक तल पर रेखांकन करें, और फिर देखें कि वे कहाँ प्रतिच्छेद करती हैं।
सबसे पहले, आपको समस्या शब्द को समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखना होगा। अज्ञात को चर असाइन करें। आपके द्वारा किए गए पैसे को कॉल करेंयू, और वह पैसा जो आपका दोस्त बनाता हैएफ.
अब आपके पास दो तरह की जानकारी है: इस बारे में जानकारी कि आपने एक साथ कितना पैसा कमाया, और यह जानकारी कि आपने अपने दोस्त द्वारा किए गए पैसे की तुलना में कितना पैसा कमाया। इनमें से प्रत्येक एक समीकरण बन जाएगा।
पहले समीकरण के लिए लिखें:
वाई + एफ = 200
चूंकि आपका पैसा और आपके मित्र का पैसा $200 तक जुड़ जाता है।
इसके बाद, अपनी कमाई के बीच तुलना का वर्णन करने के लिए एक समीकरण लिखें।
वाई = एफ - 50
क्योंकि आपके द्वारा की गई राशि आपके मित्र द्वारा की गई राशि से 50 डॉलर कम है। आप इस समीकरण को इस प्रकार भी लिख सकते हैंयू + 50 = एफ, क्योंकि आपने जो जमा किया है वह 50 डॉलर के बराबर है जो आपके मित्र ने बनाया है। ये एक ही चीज़ को लिखने के अलग-अलग तरीके हैं और इससे आपका अंतिम उत्तर नहीं बदलेगा।
तो समीकरणों की प्रणाली इस तरह दिखती है:
वाई + एफ = 200 \\ वाई = एफ - 50
इसके बाद, आपको एक ही निर्देशांक तल पर दोनों समीकरणों को रेखांकन करने की आवश्यकता है। अपनी राशि का ग्राफ बनाएं,यू, परआप-अक्ष और आपके मित्र की राशि,एफ, परएक्स-axis (यह वास्तव में कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा है जब तक आप उन्हें सही तरीके से लेबल करते हैं)। आप ग्राफ़ पेपर और एक पेंसिल, एक हैंडहेल्ड ग्राफ़िंग कैलकुलेटर या एक ऑनलाइन ग्राफ़िंग कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।
अभी एक समीकरण मानक रूप में है और एक ढलान-अवरोधन रूप में है। यह कोई समस्या नहीं है, जरूरी है, लेकिन स्थिरता के लिए, दोनों समीकरणों को ढलान-अवरोधन रूप में प्राप्त करें।
तो पहले समीकरण के लिए, मानक रूप से ढलान-अवरोधन रूप में परिवर्तित करें। इसका मतलब है कि हल करेंयू; दूसरे शब्दों में, प्राप्त करेंयूबराबर चिह्न के बाईं ओर अपने आप में। तो घटानाएफदोनों तरफ से:
वाई + एफ = 200 \\ वाई = -एफ + 200
याद रखें कि ढलान-अवरोधन रूप में, F के सामने की संख्या ढलान है और स्थिरांक y-अवरोधन है।
पहले समीकरण को रेखांकन करने के लिए,यू = −एफ+ 200, (0, 200) पर एक बिंदु बनाएं, और फिर अधिक अंक खोजने के लिए ढलान का उपयोग करें। ढलान -1 है, इसलिए एक इकाई और एक इकाई से अधिक नीचे जाएं और एक बिंदु बनाएं। यह (1, 199) पर एक बिंदु बनाता है, और यदि आप उस बिंदु से शुरू होने वाली प्रक्रिया को दोहराते हैं, तो आपको (2, 198) पर एक और बिंदु मिलेगा। ये एक बड़ी रेखा पर छोटी-छोटी हरकतें हैं, इसलिए इस पर एक और बिंदु बनाएंएक्स-यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपने लंबे समय में चीजों को अच्छी तरह से रेखांकन किया है। अगरयू= 0, तबएफ200 होगा, इसलिए (200, 0) पर एक बिंदु बनाएं।
दूसरे समीकरण को रेखांकन करने के लिए,यू = एफ- ५०, −50 के y-अवरोधन का उपयोग करके पहला बिंदु (0, −50) पर खींचा। चूंकि ढलान 1 है, (0, -50) से शुरू करें, और फिर एक इकाई और एक इकाई से ऊपर जाएं। यह आपको (1, −49) पर रखता है। (1, −49) से शुरू होने वाली प्रक्रिया को दोहराएं और आपको (2, −48) पर तीसरा बिंदु मिलेगा। दोबारा, यह सुनिश्चित करने के लिए कि आप लंबी दूरी पर चीजों को बड़े करीने से कर रहे हैं, खुद को दोबारा जांचेंएक्स-अवरोध। कबयू = 0, एफ50 होगा, इसलिए (50, 0) पर एक बिंदु भी खींचे। इन बिंदुओं को जोड़ने वाली एक साफ रेखा खींचिए।
यह देखने के लिए कि दो रेखाएँ कहाँ प्रतिच्छेद करती हैं, अपने ग्राफ़ को ध्यान से देखें। यह समाधान होगा, क्योंकि समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान वह बिंदु (या बिंदु) है जो दोनों समीकरणों को सत्य बनाता है। एक ग्राफ पर, यह उस बिंदु (या बिंदु) की तरह दिखेगा जहां दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं।
इस स्थिति में, दो रेखाएँ (125, 75) पर प्रतिच्छेद करती हैं। तो समाधान यह है कि आपका मित्र ( (एक्स-कोऑर्डिनेट) ने $125 कमाए और आपने (द .)आप-कोऑर्डिनेट) ने $75 कमाए।
त्वरित तर्क जाँच: क्या इसका कोई मतलब है? एक साथ, दो मान 200 में जोड़ते हैं, और 125 75 से 50 अधिक है। सुनने में तो अच्छा लगता है।
एक समाधान, अनंत समाधान या कोई समाधान नहीं
इस मामले में, ठीक एक बिंदु था जहां दो रेखाएं पार हो गईं। जब आप समीकरणों के सिस्टम के साथ काम कर रहे होते हैं, तो तीन संभावित परिणाम होते हैं, और प्रत्येक एक ग्राफ़ पर अलग दिखाई देगा।
- यदि सिस्टम में एक समाधान है, तो रेखाएं एक ही बिंदु पर पार हो जाएंगी, जैसा कि उन्होंने उदाहरण में किया था।
- यदि सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है, तो रेखाएं कभी भी पार नहीं होंगी। वे समानांतर होंगे, जिसका बीजीय शब्दों में अर्थ है कि उनका ढलान समान होगा।
- सिस्टम में अनंत समाधान भी हो सकते हैं, जिसका अर्थ है कि आपकी "दो" रेखाएं वास्तव में एक ही रेखा हैं। तो उनके पास हर एक बिंदु समान होगा, जो कि अनंत संख्या में समाधान हैं।