आप गणित में प्रतिलोम संबंधों को तीन प्रकार से देख सकते हैं। पहला तरीका उन कार्यों पर विचार करना है जो एक दूसरे को रद्द करते हैं। जोड़ और घटाव दो सबसे स्पष्ट ऑपरेशन हैं जो इस तरह से व्यवहार करते हैं।
व्युत्क्रम संबंधों को देखने का दूसरा तरीका यह है कि जब आप दो चरों के बीच संबंधों को रेखांकन करते हैं तो वे किस प्रकार के वक्र उत्पन्न करते हैं। यदि चरों के बीच संबंध प्रत्यक्ष है, तो जब आप स्वतंत्र चर को बढ़ाते हैं तो आश्रित चर बढ़ता है, और ग्राफ दोनों चरों के बढ़ते मूल्यों की ओर घटता है। हालाँकि, यदि संबंध उलटा है, तो आश्रित चर छोटा हो जाता है जब स्वतंत्र बढ़ता है, और ग्राफ आश्रित चर के छोटे मानों की ओर घटता है।
कार्यों के कुछ जोड़े व्युत्क्रम संबंधों का तीसरा उदाहरण प्रदान करते हैं। जब आप x-y अक्ष पर एक-दूसरे के व्युत्क्रम फ़ंक्शन को ग्राफ़ करते हैं, तो वक्र रेखा x = y के संबंध में एक दूसरे के दर्पण छवियों के रूप में दिखाई देते हैं।
उलटा गणितीय संचालन
जोड़ अंकगणितीय संक्रियाओं का सबसे बुनियादी है, और यह एक दुष्ट जुड़वां - घटाव के साथ आता है - जो इसे पूर्ववत कर सकता है। मान लीजिए कि आप 5 से शुरू करते हैं और आप 7 जोड़ते हैं। आपको १२ मिलते हैं, लेकिन अगर आप ७ घटाते हैं, तो आपके पास वह ५ रह जाएगा जिससे आपने शुरुआत की थी। जोड़ का व्युत्क्रम घटाव है, और उसी संख्या को जोड़ने और घटाने का शुद्ध परिणाम 0 जोड़ने के बराबर है।
गुणा और भाग के बीच एक समान व्युत्क्रम संबंध मौजूद है। किसी संख्या को उसी गुणनखंड से गुणा और भाग करने का शुद्ध परिणाम संख्या को 1 से गुणा करना होता है, जो इसे अपरिवर्तित छोड़ देता है। जटिल बीजीय व्यंजकों को सरल बनाने और समीकरणों को हल करने में यह व्युत्क्रम संबंध उपयोगी होता है।
प्रतिलोम गणितीय संक्रियाओं की एक और जोड़ी एक संख्या को एक घातांक तक बढ़ा रही है "नहीं"और ले रहा हैनहींसंख्या का वां मूल। वर्ग संबंध पर विचार करना सबसे आसान है। यदि आप 2 का वर्ग करते हैं, तो आपको 4 मिलता है, और यदि आप 4 का वर्गमूल लेते हैं, तो आपको 2 मिलता है। जटिल समीकरणों को हल करते समय याद रखने के लिए यह व्युत्क्रम संबंध भी उपयोगी है।
कार्य उलटा या प्रत्यक्ष हो सकता है
एक फ़ंक्शन एक नियम है जो आपके द्वारा इनपुट किए गए प्रत्येक नंबर के लिए एक और केवल एक परिणाम उत्पन्न करता है। आपके द्वारा इनपुट की गई संख्याओं के समूह को फ़ंक्शन का डोमेन कहा जाता है, और फ़ंक्शन द्वारा उत्पन्न परिणामों का सेट श्रेणी है। यदि फ़ंक्शन प्रत्यक्ष है, तो सकारात्मक संख्याओं का एक डोमेन अनुक्रम जो बड़ा हो जाता है, संख्याओं का एक श्रेणी अनुक्रम उत्पन्न करता है जो बड़ा भी होता है।
f (x) = 2x + 2, f (x) = x^2 \text{ और } f (x) = \sqrt{x}
सभी प्रत्यक्ष कार्य हैं।
एक उलटा कार्य एक अलग तरीके से व्यवहार करता है। जब डोमेन में संख्याएँ बड़ी हो जाती हैं, तो श्रेणी में संख्याएँ छोटी हो जाती हैं।
f (x) = \frac{1}{x}
प्रतिलोम फलन का सरलतम रूप है। जैसे-जैसे x बड़ा होता जाता है, f(एक्स) 0 के करीब और करीब हो जाता है। मूल रूप से, एक भिन्न के हर में इनपुट चर के साथ कोई भी फ़ंक्शन, और केवल हर में, एक उलटा कार्य है। अन्य उदाहरणों में शामिल हैं
f (x) = \frac{n}{x}
कहां हैनहींक्या कोई संख्या है,
f (x) = \frac{n}{\sqrt{x}}
तथा
f (x) = \frac{n}{x +w}
कहां हैवूकोई पूर्णांक है।
दो कार्यों का एक दूसरे से विपरीत संबंध हो सकता है
गणित में व्युत्क्रम संबंध का तीसरा उदाहरण कार्यों की एक जोड़ी है जो एक दूसरे के विपरीत हैं। एक उदाहरण के रूप में, मान लें कि आप फ़ंक्शन में संख्या 2, 3, 4 और 5 इनपुट करते हैं
वाई = 2x + 1
आपको ये अंक मिलते हैं: (2,5), (3,7), (4,9) और (5,11)। यह ढलान 2 और के साथ एक सीधी रेखा हैआप-अवरोध 1.
अब एक नया फ़ंक्शन बनाने के लिए कोष्ठक में संख्याओं को उलट दें: (5,2), (7,3), (9,4) और (11,5)। मूल फ़ंक्शन का दायरा नए का डोमेन बन जाता है और मूल फ़ंक्शन का डोमेन नए का डोमेन बन जाता है। यह भी एक रेखा है, लेकिन इसका ढाल 1/2 है और इसकाआप-अवरोधन -1/2 है। का उपयोग करते हुए
वाई = एमएक्स + बी
एक रेखा के रूप में, आप उस रेखा का समीकरण पाते हैं जो है
y = \frac{1}{2}(x - 1)
यह मूल कार्य का विलोम है। आप इसे आसानी से स्विच करके प्राप्त कर सकते हैंएक्सतथाआपमूल कार्य में और प्राप्त करने के लिए सरलीकरणआपअपने आप में समान चिह्न के बाईं ओर।