ए बहुपद एक से अधिक पदों के साथ एक बीजीय व्यंजक है। द्विपद के दो पद होते हैं, त्रिपद में तीन पद होते हैं और एक बहुपद तीन से अधिक पदों वाला कोई व्यंजक होता है। गुणनखंड बहुपद पदों का उनके सरलतम रूपों से विभाजन है। एक बहुपद को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जाता है और उन कारकों को दो द्विपदों के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है, जैसे, (x + 1)(x – 1)। एक सबसे बड़ा सामान्य कारक (जीसीएफ) एक ऐसे कारक की पहचान करता है जो बहुपद के सभी शब्दों में समान होता है। फैक्टरिंग प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए इसे बहुपद से हटाया जा सकता है।
द्विपद x^2 - 49 का परीक्षण कीजिए। दोनों पद वर्ग हैं और चूँकि यह द्विपद घटाव गुण का उपयोग करता है, इसे वर्गों का अंतर कहा जाता है। ध्यान दें कि सकारात्मक द्विपदों का कोई हल नहीं है, उदाहरण के लिए, x^2 + 49।
कोष्ठकों में गुणनखंडों को दो द्विपदों (x + 7) (x - 7) के गुणनफल के रूप में लिखिए। क्योंकि अंतिम पद, -49, ऋणात्मक है, आपके पास प्रत्येक चिह्न में से एक होगा - क्योंकि एक धनात्मक को ऋणात्मक से गुणा करने पर ऋणात्मक होता है।
द्विपद वितरित करके अपने कार्य की जाँच करें, (x)(x) = x^2 + (x)(-7) = -7x + (7)(x) = 7x + (7)(-7) = -49. समान पदों को मिलाकर सरल करें, x^2 + 7x - 7x - 49 = x^2 - 49।
त्रिपद x^2 - 6xy + 9y^2 का परीक्षण कीजिए। प्रथम और अंतिम दोनों पद वर्ग हैं। चूँकि अंतिम पद धनात्मक है और मध्य पद ऋणात्मक है, इसलिए मूल द्विपद में दो ऋणात्मक चिह्न होंगे। इसे पूर्ण वर्ग कहते हैं। यह शब्द उन त्रिपदों पर लागू होता है जिनके दो सकारात्मक पद भी हैं, x^2 + 6xy + 9y^2।
त्रिपद x^3 + 2x^2 - 15x का परीक्षण कीजिए। इस ट्रिनोमियल में, एक सबसे बड़ा सामान्य कारक है, x। त्रिपद से x खींचिए, पदों को GCF से विभाजित कीजिए और शेष को कोष्ठकों में लिखिए, x (x^2 + 2x - 15)।
दो द्विपदों, x (x + )(x - ) के गुणनफल के लिए सूत्र स्थापित करते हुए, GCF को सामने और x^2 का वर्गमूल कोष्ठक में लिखें। इस सूत्र में प्रत्येक चिन्ह में से एक होगा क्योंकि मध्य पद धनात्मक है और अंतिम पद ऋणात्मक है।
15 के गुणनखंड लिखिए। चूंकि 15 के कई कारक हैं, इसलिए इस पद्धति को परीक्षण-और-त्रुटि कहा जाता है। 15 के गुणनखंडों को देखते समय, दो ऐसे खोजें जो मध्य पद के बराबर हों। घटाए जाने पर तीन और पांच दो के बराबर होंगे। क्योंकि मध्य पद, 2x धनात्मक है, बड़ा गुणक सूत्र में धनात्मक चिह्न का अनुसरण करेगा।
बहुपद 25x^3 - 25x^2 - 4xy + 4y का परीक्षण कीजिए। चार पदों वाले बहुपद का गुणनखंड करने के लिए समूहीकरण नामक विधि का प्रयोग करें।
बहुपद को केंद्र में अलग करें, (25x^3 - 25x^2) - (4xy + 4y)। कुछ बहुपदों के साथ, आपको समूह बनाने से पहले शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करना पड़ सकता है ताकि आप समूह से GCF निकाल सकें।
पहले समूह से GCF खींचिए, पदों को GCF से विभाजित कीजिए और शेष को कोष्ठकों में लिखिए, 25x^2(x - 1)।
दूसरे समूह से GCF खींचिए, पदों को विभाजित कीजिए, और शेष को कोष्ठकों में लिखिए, 4y (x - 1)। ध्यान दें कि कोष्ठक के अवशेष मेल खाते हैं; यह समूहीकरण विधि की कुंजी है।
नए कोष्ठक समूहों के साथ बहुपद को फिर से लिखें, 25x^2(x - 1) - 4y (x - 1)। कोष्ठक अब सामान्य द्विपद हैं और बहुपद से खींचे जा सकते हैं।
