एक टेलर श्रृंखला किसी दिए गए फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने की एक संख्यात्मक विधि है। इस पद्धति का कई इंजीनियरिंग क्षेत्रों में अनुप्रयोग है। कुछ मामलों में, जैसे गर्मी हस्तांतरण, अंतर विश्लेषण के परिणामस्वरूप एक समीकरण होता है जो टेलर श्रृंखला के रूप में फिट बैठता है। एक टेलर श्रृंखला भी एक अभिन्न का प्रतिनिधित्व कर सकती है यदि उस फ़ंक्शन का अभिन्न विश्लेषणात्मक रूप से मौजूद नहीं है। ये निरूपण सटीक मान नहीं हैं, लेकिन श्रृंखला में अधिक शब्दों की गणना करने से सन्निकटन अधिक सटीक हो जाएगा।
टेलर श्रृंखला के लिए एक केंद्र चुनें। यह संख्या मनमानी है, लेकिन ऐसा केंद्र चुनना एक अच्छा विचार है जहां फ़ंक्शन में समरूपता हो या जहां केंद्र के लिए मान समस्या के गणित को सरल बनाता हो। यदि आप f (x) = sin (x) के टेलर श्रृंखला निरूपण की गणना कर रहे हैं, तो उपयोग करने के लिए एक अच्छा केंद्र a = 0 है।
उन शब्दों की संख्या निर्धारित करें जिनकी आप गणना करना चाहते हैं। आप जितने अधिक शब्दों का उपयोग करेंगे, आपका प्रतिनिधित्व उतना ही सटीक होगा, लेकिन चूंकि टेलर श्रृंखला एक अनंत श्रृंखला है, इसलिए सभी संभावित शब्दों को शामिल करना असंभव है। पाप (x) उदाहरण छह शब्दों का प्रयोग करेगा।
श्रृंखला के लिए आपको जिन डेरिवेटिव की आवश्यकता होगी, उनकी गणना करें। इस उदाहरण के लिए, आपको छठे व्युत्पन्न तक के सभी डेरिवेटिव की गणना करनी चाहिए। चूंकि टेलर श्रृंखला "n = 0" से शुरू होती है, इसलिए आपको "0 वां" व्युत्पन्न शामिल करना चाहिए, जो कि केवल मूल कार्य है। ०वाँ व्युत्पन्न = पाप (x) पहला = cos (x) दूसरा = -sin (x) तीसरा = -cos (x) चौथा = पाप (x) ५वां = cos (x) ६वां = -sin (x)
आपके द्वारा चुने गए केंद्र पर प्रत्येक व्युत्पन्न के लिए मूल्य की गणना करें। टेलर श्रृंखला के पहले छह पदों के लिए ये मान अंश होंगे। sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
टेलर श्रृंखला की शर्तों को निर्धारित करने के लिए व्युत्पन्न गणना और केंद्र का उपयोग करें। पहला कार्यकाल; एन = 0; (0/0!)(x - 0)^0 = 0/1 दूसरा पद; एन = 1; (1/1!)(x - 0)^1 = x/1! तीसरा कार्यकाल; एन = 2; (0/2!)(x - 0)^2 = 0/2! चौथा कार्यकाल; एन = 3; (-1/3!)(x - 0)^3 = -x^3/3! 5वां कार्यकाल; एन = 4; (0/4!)(x - 0)^4 = 0/4! छठा कार्यकाल; एन = 5; (1/5!)(x - 0)^5 = x^5/5! पाप के लिए टेलर श्रृंखला (x): पाप (x) = 0 + x/1! + 0 - (x^3)/3! + 0 +(x^5)/5! + ...
श्रृंखला में शून्य पदों को छोड़ दें और फ़ंक्शन के सरलीकृत प्रतिनिधित्व को निर्धारित करने के लिए बीजगणितीय रूप से अभिव्यक्ति को सरल बनाएं। यह एक पूरी तरह से अलग श्रृंखला होगी, इसलिए पहले इस्तेमाल किए गए "एन" के मान अब लागू नहीं होते हैं। पाप (एक्स) = 0 + एक्स/1! + 0 - (x^3)/3! + 0 +(x^5)/5! +... पाप (एक्स) = एक्स/1! - (x^3)/3! +(x^5)/5! -... चूंकि संकेत सकारात्मक और नकारात्मक के बीच वैकल्पिक होते हैं, सरलीकृत समीकरण का पहला घटक (-1)^n होना चाहिए, क्योंकि श्रृंखला में कोई भी संख्या नहीं है। पद (-1)^n का परिणाम ऋणात्मक चिह्न होता है जब n विषम होता है और n सम होने पर धनात्मक चिह्न होता है। विषम संख्याओं की श्रृंखला निरूपण (2n + 1) है। जब n = 0, यह पद 1 के बराबर होता है; जब n = 1, यह पद 3 और इसी प्रकार अनंत के बराबर होता है। इस उदाहरण में, x के घातांक और हर में भाज्य के लिए इस निरूपण का उपयोग करें
मूल फ़ंक्शन के स्थान पर फ़ंक्शन के प्रतिनिधित्व का उपयोग करें। अधिक उन्नत और अधिक कठिन समीकरणों के लिए, टेलर श्रृंखला एक अघुलनशील समीकरण को हल करने योग्य बना सकती है, या कम से कम एक उचित संख्यात्मक समाधान दे सकती है।