द्विघात और रैखिक समीकरणों के बीच अंतर

दो चर में एक रैखिक समीकरण में किसी भी चर के लिए एक से अधिक शक्ति शामिल नहीं होती है। इसका सामान्य रूप है:

जहां एक,खतथासीस्थिरांक हैं। इसे सरल बनाना संभव है

तथाखका मान हैआपकब अएक्स= 0. दूसरी ओर, एक द्विघात समीकरण में, दूसरी घात तक उठाए गए चरों में से एक शामिल होता है। इसका सामान्य रूप है

एक रैखिक समीकरण की तुलना में द्विघात समीकरण को हल करने की जटिलता जोड़ने के अलावा, दो समीकरण विभिन्न प्रकार के ग्राफ़ उत्पन्न करते हैं।

टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)

रैखिक कार्य एक-से-एक होते हैं जबकि द्विघात कार्य नहीं होते हैं। एक रैखिक फलन एक सीधी रेखा उत्पन्न करता है जबकि द्विघात फलन एक परवलय उत्पन्न करता है। एक रैखिक फ़ंक्शन को रेखांकन करना सीधा है जबकि द्विघात फ़ंक्शन को रेखांकन करना एक अधिक जटिल, बहु-चरणीय प्रक्रिया है।

जब आप इसे ग्राफ़ करते हैं तो एक रैखिक समीकरण एक सीधी रेखा उत्पन्न करता है। का प्रत्येक मानएक्सका एक और केवल एक मान उत्पन्न करता हैआप, इसलिए उनके बीच के संबंध को एक-से-एक कहा जाता है। जब आप एक द्विघात समीकरण का रेखांकन करते हैं, तो आप एक परवलय उत्पन्न करते हैं जो एक बिंदु से शुरू होता है, जिसे शीर्ष कहा जाता है, और ऊपर या नीचे की ओर विस्तारित होता है

मानक रूप में रैखिक समीकरण (कुल्हाड़ी​ + ​द्वारा​ + ​सी= 0) स्लोप इंटरसेप्ट फॉर्म में कनवर्ट करना आसान है (आप​ = ​एमएक्स​ +​ख), और इस रूप में, आप तुरंत उस रेखा के ढलान की पहचान कर सकते हैं, जो हैम, और वह बिंदु जिस पर रेखा को पार करती हैआप-एक्सिस। आप समीकरण को आसानी से रेखांकन कर सकते हैं, क्योंकि आपको केवल दो बिंदुओं की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आपके पास रैखिक समीकरण है

के लिए दो मान चुनेंएक्स, मान लीजिए १ और ४, और आप तुरंत १७ और ५३ के लिए मान प्राप्त करते हैंआप. दो बिंदुओं (1, 17) और (4, 53) को प्लॉट करें, उनके माध्यम से एक रेखा खींचें, और आपका काम हो गया।

आप द्विघात समीकरण को सरलता से हल और रेखांकन नहीं कर सकते। आप समीकरण को देखकर परवलय की कुछ सामान्य विशेषताओं की पहचान कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, के सामने का चिन्ह signएक्स​² टर्म आपको बताता है कि क्या परवलय ऊपर (सकारात्मक) या नीचे (नकारात्मक) खुलता है। इसके अलावा, का गुणांकएक्स​² शब्द आपको बताता है कि परवलय कितना चौड़ा या संकीर्ण है - बड़े गुणांक व्यापक परवलय को दर्शाते हैं।

आप पा सकते हैंएक्स-के लिए समीकरण को हल करके परवलय के प्रतिच्छेदनआप​ = 0 :

और द्विघात सूत्र का उपयोग करना

आप एक द्विघात समीकरण का शीर्ष इस रूप में पा सकते हैं

समीकरण को एक अलग रूप में बदलने के लिए वर्ग को पूरा करके व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करके। यह सूत्र है

यह आपको देता हैएक्सइंटरसेप्ट का -वैल्यू, जिसे आप खोजने के लिए समीकरण में प्लग कर सकते हैंआप-मूल्य।

शीर्ष को जानना, परवलय किस दिशा में खुलता है औरएक्स-अवरोधन बिंदु आपको इसे खींचने के लिए परवलय की उपस्थिति का पर्याप्त विचार देता है।