एक वेक्टर क्या है?

एक वेक्टर आपको मात्राओं को एक राशि (परिमाण कहा जाता है) और एक दिशा के रूप में वर्णन करने देता है, जिससे वे एक आसान गणितीय उपकरण बन जाते हैं। मात्राओं को वैक्टर के रूप में मानने से बलों, गति और अन्य घटनाओं की गणना और विश्लेषण करने के कई शक्तिशाली तरीके खुलते हैं जहां दिशा एक भूमिका निभाती है। न केवल गणित में, बल्कि भौतिकी जैसे कठिन विज्ञान और इंजीनियरिंग जैसे विषयों में भी वेक्टर अपरिहार्य हैं। हालांकि गणित जटिल हो सकता है, वैक्टर के पीछे के मूल विचारों को समझना मुश्किल नहीं है।

टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)

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एक वेक्टर एक मात्रा है जिसमें मात्रा और दिशा दोनों होती है। बल और वेग सदिश राशियों के दो उदाहरण हैं।

गणितज्ञ साधारण राशियों को अदिश कहते हैं; इनमें तापमान, वजन और ऊंचाई जैसे गुण शामिल हैं, जहां एक ही संख्या आपको वह सब कुछ बताती है जो आपको चाहिए। एक सदिश में भी एक राशि होती है, लेकिन एक दिशा जोड़ता है; उदाहरण के लिए, एक विमान 645 किलोमीटर प्रति घंटे (400 मील प्रति घंटे) की गति से उत्तर की ओर उड़ता है। राशि गति है, 645 किलोमीटर प्रति घंटे, और दिशा उत्तर है। सूचना के ये दोनों टुकड़े विमान के वेग वेक्टर का निर्माण करते हैं। इसी तरह, एक दरवाजा खोलने के लिए, आप उस पर 50 न्यूटन (11 पाउंड) के बल से धक्का देते हैं। पचास न्यूटन परिमाण है; दिशा "आपके शरीर के सामने से दूर है।" यह दरवाजे पर धक्का देने वाले बल के लिए वेक्टर बनाता है।

यह सदिशों को तीर के रूप में खींचकर उनकी कल्पना करने में मदद करता है। तीर वेक्टर की दिशा में इंगित करता है, और इसकी लंबाई वेक्टर के परिमाण का प्रतिनिधित्व करती है। आप ड्राइंग में कई वैक्टर जोड़ सकते हैं, प्रत्येक की अपनी दिशा और लंबाई होती है। इसके अलावा, आप कार्टेशियन के बीच चयन कर सकते हैं (एक्स तथा आप) या ध्रुवीय निर्देशांक (परिमाण और कोण)। यदि आपके ड्राइंग कौशल इस पर निर्भर हैं, तो आप परिप्रेक्ष्य और गहराई का उपयोग करके वैक्टर को तीन आयामों में भी स्केच कर सकते हैं।

जैसे आप अदिश राशियों के साथ गणित कर सकते हैं, वैसे ही आप सदिशों को जोड़ और घटा सकते हैं और साथ ही उन पर अन्य संक्रियाएँ भी कर सकते हैं। सदिशों को जोड़ने का एक तरीका यह है कि बस उनका जोड़ दिया जाए एक्स तथा आप निर्देशांक। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास दो सदिश तीर हैं, जिनमें से एक की पूंछ मूल बिंदु पर है, (0, 0), और सिर (5, 5) पर है, और दूसरा जिसकी पूंछ भी मूल में है और उसका सिर है पर (3, 0)। जोड़ना एक्स निर्देशांक आपको 8 देता है, और जोड़ना आप स्थान 5 देता है, इसलिए परिणामी सदिश (8, 5) है।

वैक्टर के साथ अन्य संचालन में डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद शामिल हैं; ये रैखिक बीजगणित में किए गए कार्य हैं जो दो वैक्टर लेते हैं और परिणाम उत्पन्न करते हैं। डॉट उत्पाद एक स्केलर उत्पन्न करता है जो दो मूल वैक्टर की लंबाई को जोड़ता है। यह समस्याओं पर लागू होता है जैसे किसी भारी वस्तु को रैंप पर धकेलने के लिए आवश्यक ऊर्जा का पता लगाना। क्रॉस उत्पाद एक तीसरा वेक्टर उत्पन्न करता है जो पहले दो में से किसी एक से 90 डिग्री इंगित करता है; इसमें बिजली और चुंबकत्व की शक्तियों में अनुप्रयोग हैं।

यह कोई आश्चर्य की बात नहीं है कि आप भौतिकी और इंजीनियरिंग में वैक्टर का बहुत अधिक सामना करते हैं। बल, वेग और त्वरण जैसी मात्राओं से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए वेक्टर काम में आते हैं। पवन सदिश मौसम के पूर्वानुमानकर्ताओं को तूफानों की प्रगति का चार्ट बनाने में मदद करते हैं। ये विषय "वेक्टर फ़ील्ड" का भी उपयोग करते हैं, या वैक्टर के बड़े समूह प्रतिनिधित्व घटना को फैलाते हैं जैसे कि चुंबक के चारों ओर क्षेत्र रेखाएं या समुद्र में जटिल जल धाराएं।