एक बहुपद के गुणन से तात्पर्य निम्न क्रम के बहुपदों (उच्चतम घातांक कम है) को खोजने से है, जो एक साथ गुणा करने पर बहुपद का गुणनखंड उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए, x^2 - 1 को x - 1 और x + 1 में विभाजित किया जा सकता है। जब इन कारकों को गुणा किया जाता है, तो -1x और +1x रद्द हो जाते हैं, x^2 और 1 को छोड़कर।
सीमित शक्ति का
दुर्भाग्य से, फैक्टरिंग एक शक्तिशाली उपकरण नहीं है, जो रोजमर्रा की जिंदगी और तकनीकी क्षेत्रों में इसके उपयोग को सीमित करता है। ग्रेड स्कूल में बहुपदों में भारी धांधली की जाती है ताकि उन्हें फैक्टर किया जा सके। रोजमर्रा की जिंदगी में, बहुपद उतने अनुकूल नहीं होते हैं और उन्हें विश्लेषण के अधिक परिष्कृत उपकरणों की आवश्यकता होती है। एक बहुपद जितना सरल x^2 + 1 सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग किए बिना गुणन योग्य नहीं है - अर्थात, वे संख्याएँ जिनमें i = (-1) शामिल हैं। क्रम के बहुपदों को कम से कम ३ को कारक बनाना निषेधात्मक रूप से कठिन हो सकता है। उदाहरण के लिए, x^3 - y^3 (x - y)(x^2 + xy + y^2) के गुणनखंड, लेकिन यह सम्मिश्र संख्याओं का सहारा लिए बिना आगे नहीं बढ़ता है।
हाई स्कूल साइंस
दूसरे क्रम के बहुपद - जैसे, x^2 + 5x + 4-- को नियमित रूप से आठवीं या नौवीं कक्षा के आसपास बीजगणित कक्षाओं में विभाजित किया जाता है।
फैक्टरिंग का उद्देश्य ऐसे फलन तब बहुपदों के समीकरणों को हल करने में सक्षम होते हैं। उदाहरण के लिए, x^2 + 5x + 4 = 0 का हल x^2 + 5x + 4 के मूल हैं, अर्थात् -1 और -4। इस तरह के बहुपदों की जड़ों को खोजने में सक्षम होना विज्ञान की कक्षाओं में अगले 2 से 3 वर्षों में समस्याओं को हल करने के लिए बुनियादी है। इस तरह की कक्षाओं में नियमित रूप से दूसरे क्रम के सूत्र आते हैं, जैसे, प्रक्षेप्य समस्याओं और अम्ल-क्षार संतुलन की गणना में।द्विघात सूत्र
फैक्टरिंग को बदलने के लिए बेहतर टूल के साथ आने में, आपको यह याद रखना चाहिए कि फैक्टरिंग का उद्देश्य सबसे पहले क्या है: समीकरणों को हल करना। द्विघात सूत्र एक समीकरण को हल करने के उद्देश्य की पूर्ति करते हुए कुछ बहुपदों को फैक्टर करने की कठिनाई के आसपास काम करने का एक तरीका है। दूसरे क्रम के बहुपदों के समीकरणों के लिए (अर्थात, फॉर्म ax^2 + bx + c), द्विघात सूत्र का उपयोग बहुपद के मूल और इसलिए समीकरण के हल को खोजने के लिए किया जाता है। द्विघात सूत्र x = [-b +/- (b^2 - 4ac)] / [2a] है, जहां +/- का अर्थ है "प्लस या माइनस।" ध्यान दें कि लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है (x - root1)(x - root2) = 0. समीकरण को हल करने के लिए फैक्टरिंग के बजाय, सूत्र का समाधान एक मध्यस्थ कदम के रूप में फैक्टरिंग के बिना सीधे हल किया जा सकता है, हालांकि यह विधि गुणन पर आधारित है।
यह कहना नहीं है कि फैक्टरिंग डिस्पेंसेबल है। यदि छात्रों ने बिना फैक्टरिंग सीखे बहुपदों के समीकरणों को हल करने का द्विघात समीकरण सीख लिया, तो द्विघात समीकरण की समझ कम हो जाएगी।
उदाहरण
इसका मतलब यह नहीं है कि बीजगणित, भौतिकी और रसायन विज्ञान कक्षाओं के बाहर बहुपदों का गुणनखंडन कभी नहीं किया जाता है। हैंडहेल्ड वित्तीय कैलकुलेटर एक सूत्र का उपयोग करके दैनिक ब्याज गणना करते हैं जो कि भविष्य के भुगतानों का कारक है जिसमें ब्याज घटक बैक आउट होता है (आरेख देखें)। विभेदक समीकरणों (परिवर्तन की दरों के समीकरण) में, डेरिवेटिव (परिवर्तन की दर) के बहुपदों का गुणनखंडन किया जाता है, जिसे "सजातीय" कहा जाता है, को हल करने के लिए किया जाता है। मनमाना क्रम के समीकरण।" एक अन्य उदाहरण परिचयात्मक कलन में है, एकीकरण बनाने के लिए आंशिक अंशों की विधि में (वक्र के तहत क्षेत्र के लिए हल करना) आसान।
कम्प्यूटेशनल समाधान और पृष्ठभूमि सीखने का उपयोग
बेशक, ये उदाहरण रोजमर्रा से बहुत दूर हैं। और जब फैक्टरिंग कठिन हो जाती है, तो हमारे पास हैवी लिफ्टिंग करने के लिए कैलकुलेटर और कंप्यूटर होते हैं। पढ़ाए गए प्रत्येक गणितीय विषय और दैनिक गणनाओं के बीच एक-से-एक मिलान की अपेक्षा करने के बजाय, उस तैयारी को देखें जो विषय अधिक व्यावहारिक अध्ययन के लिए प्रदान करता है। फैक्टरिंग की सराहना की जानी चाहिए कि यह क्या है: तेजी से यथार्थवादी समीकरणों को हल करने के तरीकों को सीखने के लिए एक कदम।