बहुपदों एक से अधिक पद हों। इनमें स्थिरांक, चर और घातांक होते हैं। स्थिरांक, गुणांक कहलाते हैं, चर के गुणक हैं, एक अक्षर जो बहुपद के भीतर एक अज्ञात गणितीय मान का प्रतिनिधित्व करता है। गुणांक और चर दोनों में घातांक हो सकते हैं, जो पद को स्वयं से गुणा करने की संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। आप बीजीय समीकरणों में बहुपदों का उपयोग ग्राफ के x-अवरोधों को खोजने में मदद करने के लिए कर सकते हैं और विशिष्ट पदों के मूल्यों को खोजने के लिए कई गणितीय समस्याओं में।
व्यंजक -9x^6 - 3 का परीक्षण कीजिए। बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए, उच्चतम घातांक ज्ञात कीजिए। व्यंजक -9x^6 - 3 में, चर x है और उच्चतम घात 6 है।
व्यंजक 8x^9 - 7x^3 + 2x^2 - 9 का परीक्षण कीजिए। इस मामले में, चर x बहुपद में तीन बार प्रकट होता है, हर बार एक अलग घातांक के साथ। उच्चतम चर 9 है।
व्यंजक 4x^3y^2 - 3x^2y^4 की जांच करें। इस बहुपद के दो चर हैं, y और x, और दोनों को प्रत्येक पद में अलग-अलग घातों तक बढ़ाया गया है। डिग्री खोजने के लिए, चर पर घातांक जोड़ें। X की घात 3 और 2, 3 + 2 = 5 है, और y की घात 2 और 4, 2 + 4 = 6 है। बहुपद की घात 6 है।
घटाव के साथ बहुपदों को सरल कीजिए: (5x^2 - 3x + 2) - (2x^2 - 7x - 3)। सबसे पहले, ऋणात्मक चिह्न वितरित करें या गुणा करें: (5x^2 - 3x + 2) - 1(2x^2 - 7x - 3) = 5x^2 - 3x + 2 - -2x^2 + 7x + 3. समान पदों को मिलाएं: (5x^2 - 2x^2) + (-3x + 7x) + (2 + 3) = 3x^2 + 4x + 5.
बहुपद 15x^2 - 10x का परीक्षण कीजिए। किसी भी गुणनखंड को शुरू करने से पहले, हमेशा सबसे बड़े सामान्य कारक की तलाश करें। इस मामले में, GCF 5x है। GCF को बाहर निकालें, पदों को विभाजित करें और शेष को कोष्ठकों में लिखें: 5x (3x - 2)।
व्यंजक 18x^3 - 27x^2 + 8x - 12 का परीक्षण कीजिए। बहुपदों को एक समय में द्विपदों के एक समूह के गुणनखंड के लिए पुन: क्रमित करें: (18x^3 - 27x^2) + (8x - 12)। इसे समूहन कहते हैं। प्रत्येक द्विपद का GCF निकालें, विभाजित करें और शेष को कोष्ठकों में लिखें: 9x^2(2x - 3) + 4(2x - 3)। समूह गुणनखंड के काम करने के लिए कोष्ठकों का मिलान होना चाहिए। कोष्ठक में शर्तों को लिखकर फैक्टरिंग समाप्त करें: (2x - 3)(9x^2 + 4)।
त्रिपद x^2 - 22x + 121 का गुणनखंड करें। यहां बाहर निकालने के लिए कोई GCF नहीं है। इसके बजाय, पहले और अंतिम पदों के वर्गमूल ज्ञात कीजिए, जो इस स्थिति में x और 11 हैं। मूल पद स्थापित करते समय, याद रखें कि मध्य पद प्रथम और अंतिम पदों के गुणनफल का योग होगा।
वर्गमूल द्विपद को कोष्ठक में लिखिए: (x - 11)(x - 11)। काम की जांच के लिए पुनर्वितरण। पहला पद, (x)(x) = x^2, (x)(-11) = -11x, (-11)(x) = -11x और (-11)(-11) = 121। समान पदों को मिलाएं, (-11x) + (-11x) = -22x, और सरल करें: x^2 - 22x + 121। चूंकि बहुपद मूल से मेल खाता है, इसलिए प्रक्रिया सही है।
बहुपद समीकरण 4x^3 + 6x^2 - 40x = 0 का परीक्षण करें। यह शून्य उत्पाद गुण है, जो शर्तों को समीकरण के दूसरी ओर जाने की अनुमति देता है ताकि x का मान (ओं) का पता लगाया जा सके।
जीसीएफ, 2x (2x^2 + 3x - 20) = 0 का गुणनखंड करें। कोष्ठकी त्रिपद, 2x (2x - 5)(x + 4) = 0 का गुणनखंड करें।
पहले पद को बराबर शून्य पर सेट करें; 2x = 0. समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करके स्वयं x प्राप्त करें, 2x 2 = 0 ÷ 2 = x = 0. पहला हल x = 0 है।
दूसरे पद को बराबर शून्य पर सेट करें; 2x^2 - 5 = 0. समीकरण के दोनों पक्षों में 5 जोड़ें: 2x^2 - 5 + 5 = 0 + 5, फिर सरल करें: 2x = 5। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें और सरल करें: x = 5/2। x का दूसरा हल 5/2 है।
तीसरे पद को शून्य के बराबर सेट करें: x + 4 = 0। दोनों पक्षों से 4 घटाएं और सरल करें: x = -4, जो तीसरा हल है।