बहुपदों के लंबे विभाजन और सिंथेटिक विभाजन के बीच अंतर

बहुपद लंबा विभाजन एक बहुपद को दूसरे, समान या निम्न डिग्री, बहुपद से विभाजित करके बहुपद तर्कसंगत कार्यों को सरल बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली एक विधि है। यह तब उपयोगी होता है जब बहुपद व्यंजकों का सरलीकरण हाथ से क्योंकि यह एक जटिल समस्या को छोटी समस्याओं में तोड़ देता है। कभी-कभी एक बहुपद को एक रैखिक गुणनखंड द्वारा सामान्य रूप ax + b में विभाजित किया जाता है। इस मामले में, तर्कसंगत अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए सिंथेटिक डिवीजन नामक एक शॉर्टकट विधि का उपयोग किया जा सकता है। इस विधि का प्रयोग बहुपद के मूल या शून्य ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

बहुपद के साथ लंबा विभाजन तब उत्पन्न होता है जब आपको दो बहुपदों को शामिल करने वाली एक विभाजन समस्या को सरल बनाने की आवश्यकता होती है। बहुपद के साथ लंबे विभाजन का उद्देश्य पूर्णांक के साथ लंबे विभाजन के समान है; यह पता लगाने के लिए कि क्या भाजक लाभांश का एक कारक है और यदि नहीं, तो भाजक के बाद के शेष को लाभांश में विभाजित किया जाता है। यहां प्राथमिक अंतर यह है कि अब आप चरों से विभाजित कर रहे हैं।

भाजक, बहुपद लंबे विभाजन में, भाजक होता है और लाभांश बहुपद अंश का अंश होता है। विभाजन समस्या बिल्कुल एक पूर्णांक विभाजन समस्या की तरह सेट की जाती है, जिसमें भाजक बाईं ओर ब्रैकेट के बाहर स्थित होता है और ब्रैकेट के भीतर लाभांश होता है। भाजक के अग्रणी पद को भाजक के अग्रणी पद से विभाजित करें और परिणाम को कोष्ठक के ऊपर रखें। उस परिणाम को फिर भाजक के माध्यम से गुणा किया जाता है, फिर परिणाम को लाभांश से घटाया जाता है, घटाव में शामिल किसी भी शब्द को नीचे ले जाया जाता है। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि आप उत्तर के रूप में शून्य प्राप्त नहीं कर लेते हैं या लाभांश में भाजक के अग्रणी पद को नहीं जोड़ सकते।

बहुपद सिंथेटिक विभाजन बहुपद विभाजन का एक सरलीकृत रूप है जिसका उपयोग केवल एक रैखिक कारक, एक मोनोमियल द्वारा विभाजन के मामले में किया जाता है। बहुपद की जड़ों को खोजने के लिए इसका सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। यह बहुपद लंबे विभाजन में उपयोग किए जाने वाले विभाजन कोष्ठक और चरों को दूर करता है और प्रश्न में बहुपद के गुणांकों पर ध्यान केंद्रित करता है। यह विभाजन की प्रक्रिया को छोटा करता है और विशिष्ट बहुपद लंबे विभाजन की तुलना में कम भ्रम पैदा कर सकता है।

लंबे डिवीजन की तरह ठेठ डिवीजन ब्रैकेट के बजाय, सिंथेटिक डिवीजन में आप राइट-फेसिंग लंबवत लाइनों का उपयोग करते हैं, जिससे डिवीजन की कई पंक्तियों के लिए जगह बच जाती है। केवल विभाजित किए जा रहे बहुपद के गुणांकों को कोष्ठक के अंदर, शीर्ष पर शामिल किया गया है। शून्य होने के संदेह में एक संख्या का परीक्षण करने में उस संख्या को बहुपद गुणांक के बगल में, ब्रैकेट के बाहर रखना शामिल है। पहला गुणांक अपरिवर्तित, विभाजन चिह्न के नीचे ले जाया जाता है। परीक्षण शून्य को तब ले-डाउन मान से गुणा किया जाता है और परिणाम अगले गुणांक में जोड़ा जाता है। पिछले कैरी-डाउन मान को नए परिणाम से गुणा किया जाता है, फिर अगले गुणांक में जोड़ा जाता है। इस प्रक्रिया को अंतिम गुणांक तक जारी रखने से शून्य या शेषफल का परिणाम सामने आता है। यदि शेषफल है, तो परीक्षण शून्य बहुपद का वास्तविक शून्य नहीं है।