परिमेय भावों को सरल कैसे करें: चरण-दर-चरण

इससे पहले कि आप तर्कसंगत अभिव्यक्तियों को सरल बनाना या अन्यथा हेरफेर करना शुरू करें, कुछ समय के लिए समीक्षा करें कि क्या परिमेय व्यंजक स्वयं है: अंश और हर दोनों में बहुपद वाली एक भिन्न। या, इसे दूसरे तरीके से रखने के लिए, एक बहुपद का दूसरे से अनुपात। एक बार जब आप एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति की पहचान कर लेते हैं, तो इसे सरल बनाने की प्रक्रिया तीन चरणों तक उबलती है।

तर्कसंगत कार्यों को सरल बनाने की प्रक्रिया काफी सरल रोडमैप का अनुसरण करती है। बहुपदों को स्पष्ट रूप से देखने में आपकी सहायता करने के लिए पहली चीज़ जो आपको करनी चाहिए वह है समान पदों को संयोजित करना, यदि आपने पहले से ऐसा नहीं किया है।

अगला, प्रत्येक बहुपद का गुणनखंड करें। कभी-कभी आपको केवल हर शब्द को लिखना होता है। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि 4 एक्स (जो वास्तव में एक बहुपद है, भले ही इसमें केवल एक पद हो) के दो गुणनखंड हैं: 4 तथा एक्स. लेकिन अधिक जटिल बहुपदों के साथ, आपका सबसे अच्छा उपकरण अक्सर विशिष्ट प्रकार के बहुपदों के पैटर्न को पहचानना है जिनके बारे में आप पहले ही सीख चुके हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप अपने सूत्रों पर पूरा ध्यान दे रहे हैं, तो आपको याद हो सकता है कि प्रपत्र का बहुपद

एक बार जब आपके बहुपद पूरी तरह से फ़ैक्टर हो जाते हैं, तो अंतिम चरण अंश और हर दोनों में प्रकट होने वाले किसी भी सामान्य कारक को रद्द कर रहा है। परिणाम आपका सरलीकृत बहुपद है।

• क्या होगा यदि आपके परिमेय व्यंजक में बहुपद ऐसे रूप में नहीं हैं जिसे आप आसानी से गुणनखंड करना जानते हैं? ऐसी अन्य तकनीकें हैं जिनका उपयोग आप उनका गुणन करने के लिए कर सकते हैं, जैसे वर्ग को पूरा करना या द्विघात सूत्र का उपयोग करना।

आपको शायद यह सुनकर आश्चर्य न हो कि यहाँ एक छोटी सी पकड़ है। आमतौर पर डोमेन (या संभव का सेट एक्स मान) आपके परिमेय व्यंजक के लिए सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय माना जाता है। लेकिन अगर आपके भिन्न के हर को शून्य करने के लिए कुछ होता है, तो परिणाम एक अपरिभाषित भिन्न होता है।

क्या आपके हर को शून्य बना देगा? आमतौर पर यह पता लगाने के लिए एक छोटी सी परीक्षा होती है। उदाहरण के लिए, यदि आपके भिन्न के हर को गुणनखंडों में घटा दिया गया है (एक्स + 2)(एक्स - 2), फिर मान एक्स = -2 पहले गुणनखंड को शून्य के बराबर कर देगा, और एक्स = 2 दूसरे गुणनखंड को शून्य के बराबर कर देगा।

तो उन दोनों मूल्यों, -2 और 2, को आपकी तर्कसंगत अभिव्यक्ति के क्षेत्र से बाहर रखा जाना चाहिए। आप आमतौर पर इसे "बराबर नहीं" चिह्न या के साथ नोट करेंगे। उदाहरण के लिए, यदि आपको डोमेन से -2 और 2 को बाहर करना है, तो आप लिखेंगे एक्स -2, 2.

अब जब आप परिमेय व्यंजकों को सरल बनाने की प्रक्रिया को समझ गए हैं, तो कुछ उदाहरणों को देखने का समय आ गया है।

उदाहरण 1: परिमेय व्यंजक को सरल कीजिए (एक्स² - 4) / (एक्स²+ 4x + 4)

यहां गठबंधन करने के लिए कोई समान शब्द नहीं हैं, इसलिए आप उस पहले चरण को छोड़ सकते हैं। इसके बाद, अपनी गहरी आँखों और थोड़े से अभ्यास से, आप देख सकते हैं कि अंश और हर दोनों आसानी से गुणनखंडित हैं:

(एक्स + 2)(एक्स - 2) / (एक्स + 2)(एक्स + 2)

शायद आप यह भी देखेंगे (एक्स + 2) अंश और हर दोनों में एक कारक है। एक बार जब आप साझा कारक को रद्द कर देते हैं, तो आपके पास यह रह जाता है:

(एक्स - 2) / (एक्स + 2)

जहाँ तक आप कर सकते हैं आपने अपनी तर्कसंगत अभिव्यक्ति को सरल बना दिया है, लेकिन एक और काम करना है: पहचानें कोई भी "शून्य" या मूल जिसके परिणामस्वरूप एक अपरिभाषित अंश होगा, ताकि आप उन्हें से बाहर कर सकें डोमेन। इस मामले में, परीक्षा द्वारा यह देखना आसान है कि कब एक्स = -2, तल पर गुणनखंड शून्य के बराबर होगा। तो आपकी सरलीकृत तर्कसंगत अभिव्यक्ति वास्तव में है:

(एक्स - 2) / (एक्स + 2), एक्स ≠ -2

उदाहरण 2: परिमेय व्यंजक को सरल कीजिए एक्स / (एक्स² - 4x)

गठबंधन करने के लिए कोई समान शब्द नहीं हैं, इसलिए आप परीक्षा द्वारा सीधे फैक्टरिंग पर जा सकते हैं। यह पता लगाना बहुत कठिन नहीं है कि आप कारक बना सकते हैं एक्स नीचे की अवधि से बाहर, जो आपको देता है:

एक्स / एक्स (एक्स - 4)

आप रद्द कर सकते हैं एक्स अंश और हर दोनों से गुणनखंड, जो आपको छोड़ देता है:

1 / (एक्स - 4)

अब आपकी तर्कसंगत अभिव्यक्ति सरल हो गई है, लेकिन आपको किसी एक पर भी ध्यान देने की आवश्यकता है एक्स वे मान जिनके परिणामस्वरूप एक अपरिभाषित अंश होगा। इस मामले में, एक्स = 4 हर में शून्य का मान लौटाएगा। तो आपका उत्तर है:

1 / (एक्स - 4), एक्स 4