दो बिंदुओं के साथ एक घातीय समीकरण कैसे खोजें

यदि आप किसी विशेष घातांक वक्र पर पड़ने वाले दो बिंदुओं को जानते हैं, तो आप उन बिंदुओं का उपयोग करके सामान्य घातांक फ़ंक्शन को हल करके वक्र को परिभाषित कर सकते हैं। व्यवहार में, इसका अर्थ है समीकरण y = ab. में y और x के लिए बिंदुओं को प्रतिस्थापित करना^एक्स. प्रक्रिया आसान है यदि किसी एक बिंदु के लिए x-मान 0 है, जिसका अर्थ है कि बिंदु y-अक्ष पर है। यदि किसी भी बिंदु का शून्य x-मान नहीं है, तो x और y को हल करने की प्रक्रिया कुछ अधिक जटिल है।

कई महत्वपूर्ण प्रणालियां विकास और क्षय के घातीय पैटर्न का पालन करती हैं। उदाहरण के लिए, एक कॉलोनी में बैक्टीरिया की संख्या आमतौर पर तेजी से बढ़ती है, और परमाणु घटना के बाद वातावरण में परिवेशी विकिरण आमतौर पर तेजी से घटता है। डेटा लेने और वक्र की साजिश रचने से वैज्ञानिक भविष्यवाणियां करने की बेहतर स्थिति में हैं।

द्वि-विमीय ग्राफ पर किसी भी बिंदु को दो संख्याओं द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो आमतौर पर in. में लिखे जाते हैं फॉर्म (एक्स, वाई), जहां एक्स मूल से क्षैतिज दूरी को परिभाषित करता है और वाई लंबवत का प्रतिनिधित्व करता है दूरी। उदाहरण के लिए, बिंदु (2, 3) y-अक्ष के दाईं ओर दो इकाई और x-अक्ष के ऊपर तीन इकाई है। दूसरी ओर, बिंदु (-2, -3) y-अक्ष के बाईं ओर दो इकाई है। और x-अक्ष के नीचे तीन इकाइयाँ।

यदि आपके पास दो बिंदु हैं, (x₁, आप₁) और (एक्स₂, आप₂), आप समीकरण y = ab. में उन्हें प्रतिस्थापित करके इन बिंदुओं से गुजरने वाले घातांकीय फलन को परिभाषित कर सकते हैं^एक्स और ए और बी के लिए हल करना। सामान्य तौर पर, आपको समीकरणों के इस युग्म को हल करना होगा:

आप₁ = अब^x1 और तुम₂ = अब^x2, .

इस रूप में, गणित थोड़ा जटिल लगता है, लेकिन कुछ उदाहरण करने के बाद यह कम दिखता है।

यदि x-मानों में से एक -- मान लें x₁ -- 0 है, ऑपरेशन बहुत आसान हो जाता है। उदाहरण के लिए, अंक (0, 2) और (2, 4) के लिए समीकरण को हल करने से प्राप्त होता है:

2 = अब⁰ और 4 = अब². चूंकि हम जानते हैं कि बी⁰ = 1, पहला समीकरण 2 = a हो जाता है। दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर 4 = 2b. प्राप्त होता है², जिसे हम सरल करते हैं b² = 2, या b = 2 का वर्गमूल, जो लगभग 1.41 के बराबर होता है। परिभाषित कार्य तब है वाई = 2 (1.41)^एक्स.

यदि न तो x-मान शून्य है, तो समीकरणों के युग्म को हल करना थोड़ा अधिक बोझिल है। हेनोचमाथ इस प्रक्रिया को स्पष्ट करने के लिए हमें एक आसान उदाहरण के माध्यम से चलता है। अपने उदाहरण में, उसने अंक (2, 3) और (4, 27) के युग्म को चुना। यह समीकरणों की निम्नलिखित जोड़ी उत्पन्न करता है:

२७ = अब⁴

3 = अब²

यदि आप पहले समीकरण को दूसरे से विभाजित करते हैं, तो आपको मिलता है

9 = बी²

तो बी = 3. बी के लिए भी -3 के बराबर होना संभव है, लेकिन इस मामले में, मान लें कि यह सकारात्मक है।

आप इस मान को b के लिए किसी भी समीकरण में a प्राप्त करने के लिए प्रतिस्थापित कर सकते हैं। दूसरे समीकरण का उपयोग करना आसान है, इसलिए:

3 = ए (3)² जिसे 3 = a9, a = 3/9 या 1/3 तक सरल बनाया जा सकता है।

इन बिंदुओं से गुजरने वाले समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: वाई = 1/3(3)^एक्स.

1910 के बाद से, मानव जनसंख्या वृद्धि घातीय रही है, और विकास वक्र की साजिश रचकर, वैज्ञानिक भविष्य की भविष्यवाणी करने और योजना बनाने की बेहतर स्थिति में हैं। १९१० में विश्व की जनसंख्या १.७५ अरब थी और २०१० में यह ६.८७ अरब थी। 1910 को प्रारंभिक बिंदु के रूप में लेते हुए, यह अंक (0, 1.75) और (100, 6.87) की जोड़ी देता है। चूँकि पहले बिंदु का x-मान शून्य है, हम आसानी से a को खोज सकते हैं।

१.७५ = अब⁰ या ए = 1.75। इस मान को दूसरे बिंदु के साथ, सामान्य घातांक समीकरण में जोड़ने पर 6.87 = 1.75b. उत्पन्न होता है¹⁰⁰, जो b का मान 6.87/1.75 या 3.93 के सौवें मूल के रूप में देता है। तो समीकरण बन जाता है y = 1.75 (3.93 का सौवां मूल)^एक्स. यद्यपि इसे करने के लिए एक स्लाइड नियम से अधिक समय लगता है, वैज्ञानिक इस समीकरण का उपयोग भविष्य की जनसंख्या संख्या को प्रोजेक्ट करने के लिए कर सकते हैं ताकि वर्तमान में राजनेताओं को उपयुक्त नीतियां बनाने में मदद मिल सके।