निरपेक्ष मूल्य असमानताओं को कैसे हल करें

निरपेक्ष मूल्य असमानता की परिभाषा

| 5 + एक्स | - १० > ६

एक पूर्ण मूल्य असमानता को कैसे हल करें

| 5 + 5x |x - 3 > 2

ऐसा करने के लिए, प्राप्त करें | ५ + ५एक्स| असमानता के बाईं ओर अपने आप में। आपको बस प्रत्येक पक्ष में 3 जोड़ना है:

| 5 + 5x |x - ३ + ३ > २ + ३ \\ | 5 + 5x |x > 5.

अब असमानता के दो "संस्करण" हैं जिन्हें हमें हल करने की आवश्यकता है: सकारात्मक "संस्करण" और नकारात्मक "संस्करण।"

इस चरण के लिए, हम मान लेंगे कि चीजें वैसी ही हैं जैसी वे दिखती हैं: कि 5 + 5एक्स​ > 5.

| 5 + 5x |x > 5 → 5 + 5x > 5x

यह एक साधारण असमानता है; आपको बस के लिए हल करना हैएक्सहमेशा की तरह। दोनों पक्षों से 5 घटाएं, फिर दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करें।

\begin{aligned} &5 + 5x > 5 \\ &5 + 5x - 5 > 5 - 5 \quad \text{(दोनों पक्षों से पांच घटाएं)} \\ &5x > 0 \\ &5x (÷ 5) > 0 (÷ 5) \quad \text{(दोनों पक्षों को पांच से विभाजित करें)} \\ &x > 0 \end{aligned}

बुरा नहीं! तो हमारी असमानता का एक संभावित समाधान यह है किएक्स> 0. अब, चूंकि इसमें निरपेक्ष मूल्य शामिल हैं, यह समय एक और संभावना पर विचार करने का है।

इसे अगले बिट में समझने के लिए, यह याद रखने में मदद करता है कि निरपेक्ष मूल्य का क्या अर्थ है।निरपेक्ष मूल्यशून्य से किसी संख्या की दूरी को मापता है। दूरी हमेशा धनात्मक होती है, इसलिए 9 शून्य से नौ इकाई दूर है, लेकिन -9 भी शून्य से नौ इकाई दूर है।

तो | 9 | = 9, लेकिन | −9 | = 9 भी।

अब वापस ऊपर की समस्या पर। उपरोक्त कार्य से पता चला है कि | ५ + ५एक्स| > 5; दूसरे शब्दों में, "कुछ" का निरपेक्ष मान पाँच से अधिक है। अब, पाँच से बड़ी कोई भी धनात्मक संख्या शून्य से पाँच से अधिक दूर होगी। तो पहला विकल्प था कि "कुछ," 5 + 5एक्स, 5 से बड़ा है।

अर्थात्:

5 + 5x> 5

ऊपर दिए गए चरण 2 में यही परिदृश्य है।

अब थोड़ा और सोचो। शून्य से पांच इकाई दूर और क्या है? खैर, नकारात्मक पांच है। और ऋणात्मक पाँच से संख्या रेखा के साथ आगे कुछ भी शून्य से और भी दूर होने वाला है। तो हमारा "something" एक ऋणात्मक संख्या हो सकती है जो ऋणात्मक पाँच की तुलना में शून्य से अधिक दूर है। इसका मतलब है कि यह एक बड़ी आवाज वाली संख्या होगी, लेकिन तकनीकी रूप सेसे कमऋणात्मक पाँच क्योंकि यह संख्या रेखा पर ऋणात्मक दिशा में बढ़ रहा है।

तो हमारा "कुछ," 5 + 5x, -5 से कम हो सकता है।

5 + 5x

इसे बीजगणितीय रूप से करने का त्वरित तरीका यह है कि असमानता के दूसरी तरफ की मात्रा को 5 से गुणा करें, ऋणात्मक एक से, फिर असमानता चिह्न को पलटें:

| 5 + 5x |x > 5 → 5 + 5x < - 5

फिर हमेशा की तरह हल करें।

\begin{aligned} &5 + 5x < -5 \\ &5 + 5x - 5

तो असमानता के दो संभावित समाधान हैं:एक्स> 0 याएक्स< −2. यह सुनिश्चित करने के लिए कि असमानता अभी भी सही है, कुछ संभावित समाधानों को शामिल करके स्वयं की जाँच करें।

बिना किसी समाधान के पूर्ण मूल्य असमानताएं

मध्यवर्ती टिप्पणी

( −∞, −2) ∪ (0, ∞)