निरपेक्ष मूल्य असमानताओं को हल करना निरपेक्ष मूल्य समीकरणों को हल करने जैसा है, लेकिन ध्यान में रखने के लिए कुछ अतिरिक्त विवरण हैं। यह पहले से ही पूर्ण मूल्य समीकरणों को हल करने में सहज होने में मदद करता है, लेकिन यह ठीक है अगर आप उन्हें एक साथ भी सीख रहे हैं!
निरपेक्ष मूल्य असमानता की परिभाषा
सबसे पहले, अनुनिरपेक्ष मूल्य असमानताएक असमानता है जिसमें एक निरपेक्ष मूल्य अभिव्यक्ति शामिल है। उदाहरण के लिए,
| 5 + एक्स | - १० > ६
एक निरपेक्ष मूल्य असमानता है क्योंकि इसमें एक असमानता चिह्न है, >, और एक निरपेक्ष मान व्यंजक, | 5 +एक्स |.
एक पूर्ण मूल्य असमानता को कैसे हल करें
एक निरपेक्ष मूल्य असमानता को हल करने के लिए कदमनिरपेक्ष मान समीकरण को हल करने के चरणों की तरह हैं:
चरण 1:असमानता के एक तरफ निरपेक्ष मूल्य अभिव्यक्ति को अलग करें।
चरण दो:असमानता के सकारात्मक "संस्करण" को हल करें।
चरण 3:असमानता के नकारात्मक "संस्करण" को असमानता के दूसरी तरफ की मात्रा को -1 से गुणा करके और असमानता चिह्न को फ़्लिप करके हल करें।
यह सब एक साथ करने के लिए बहुत कुछ है, इसलिए यहां एक उदाहरण दिया गया है जो आपको चरणों के बारे में बताएगा।
असमानता को हल करेंएक्स:
| 5 + 5x |x - 3 > 2
ऐसा करने के लिए, प्राप्त करें | ५ + ५एक्स| असमानता के बाईं ओर अपने आप में। आपको बस प्रत्येक पक्ष में 3 जोड़ना है:
| 5 + 5x |x - ३ + ३ > २ + ३ \\ | 5 + 5x |x > 5.
अब असमानता के दो "संस्करण" हैं जिन्हें हमें हल करने की आवश्यकता है: सकारात्मक "संस्करण" और नकारात्मक "संस्करण।"
इस चरण के लिए, हम मान लेंगे कि चीजें वैसी ही हैं जैसी वे दिखती हैं: कि 5 + 5एक्स > 5.
| 5 + 5x |x > 5 → 5 + 5x > 5x
यह एक साधारण असमानता है; आपको बस के लिए हल करना हैएक्सहमेशा की तरह। दोनों पक्षों से 5 घटाएं, फिर दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करें।
\begin{aligned} &5 + 5x > 5 \\ &5 + 5x - 5 > 5 - 5 \quad \text{(दोनों पक्षों से पांच घटाएं)} \\ &5x > 0 \\ &5x (÷ 5) > 0 (÷ 5) \quad \text{(दोनों पक्षों को पांच से विभाजित करें)} \\ &x > 0 \end{aligned}
बुरा नहीं! तो हमारी असमानता का एक संभावित समाधान यह है किएक्स> 0. अब, चूंकि इसमें निरपेक्ष मूल्य शामिल हैं, यह समय एक और संभावना पर विचार करने का है।
इसे अगले बिट में समझने के लिए, यह याद रखने में मदद करता है कि निरपेक्ष मूल्य का क्या अर्थ है।निरपेक्ष मूल्यशून्य से किसी संख्या की दूरी को मापता है। दूरी हमेशा धनात्मक होती है, इसलिए 9 शून्य से नौ इकाई दूर है, लेकिन -9 भी शून्य से नौ इकाई दूर है।
तो | 9 | = 9, लेकिन | −9 | = 9 भी।
अब वापस ऊपर की समस्या पर। उपरोक्त कार्य से पता चला है कि | ५ + ५एक्स| > 5; दूसरे शब्दों में, "कुछ" का निरपेक्ष मान पाँच से अधिक है। अब, पाँच से बड़ी कोई भी धनात्मक संख्या शून्य से पाँच से अधिक दूर होगी। तो पहला विकल्प था कि "कुछ," 5 + 5एक्स, 5 से बड़ा है।
अर्थात्:
5 + 5x> 5
ऊपर दिए गए चरण 2 में यही परिदृश्य है।
अब थोड़ा और सोचो। शून्य से पांच इकाई दूर और क्या है? खैर, नकारात्मक पांच है। और ऋणात्मक पाँच से संख्या रेखा के साथ आगे कुछ भी शून्य से और भी दूर होने वाला है। तो हमारा "something" एक ऋणात्मक संख्या हो सकती है जो ऋणात्मक पाँच की तुलना में शून्य से अधिक दूर है। इसका मतलब है कि यह एक बड़ी आवाज वाली संख्या होगी, लेकिन तकनीकी रूप सेसे कमऋणात्मक पाँच क्योंकि यह संख्या रेखा पर ऋणात्मक दिशा में बढ़ रहा है।
तो हमारा "कुछ," 5 + 5x, -5 से कम हो सकता है।
5 + 5x
इसे बीजगणितीय रूप से करने का त्वरित तरीका यह है कि असमानता के दूसरी तरफ की मात्रा को 5 से गुणा करें, ऋणात्मक एक से, फिर असमानता चिह्न को पलटें:
| 5 + 5x |x > 5 → 5 + 5x < - 5
फिर हमेशा की तरह हल करें।
\begin{aligned} &5 + 5x < -5 \\ &5 + 5x - 5
तो असमानता के दो संभावित समाधान हैं:एक्स> 0 याएक्स< −2. यह सुनिश्चित करने के लिए कि असमानता अभी भी सही है, कुछ संभावित समाधानों को शामिल करके स्वयं की जाँच करें।
बिना किसी समाधान के पूर्ण मूल्य असमानताएं
वहाँ एक परिदृश्य है जहाँ वहाँ होगानिरपेक्ष मूल्य असमानता का कोई समाधान नहीं. चूँकि निरपेक्ष मान हमेशा धनात्मक होते हैं, वे ऋणात्मक संख्याओं के बराबर या उससे कम नहीं हो सकते हैं।
तो |एक्स| < -2 हैकोई हल नहींक्योंकि एक निरपेक्ष मूल्य अभिव्यक्ति का परिणाम सकारात्मक होना चाहिए।
मध्यवर्ती टिप्पणी
हमारे मुख्य उदाहरण का हल लिखने के लिएमध्यवर्ती टिप्पणी, इस बारे में सोचें कि संख्या रेखा पर समाधान कैसा दिखता है। हमारा समाधान थाएक्स> 0 याएक्स< −2. एक संख्या रेखा पर, यह 0 पर एक खुला बिंदु है, जिसमें एक रेखा सकारात्मक अनंत तक फैली हुई है, और -2 पर एक खुला बिंदु है, जिसमें एक रेखा नकारात्मक अनंत तक फैली हुई है। ये समाधान एक दूसरे से दूर इंगित करते हैं, एक दूसरे की ओर नहीं, इसलिए प्रत्येक टुकड़े को अलग से लें।
संख्या रेखा पर x > 0 के लिए, शून्य पर एक खुला बिंदु होता है और फिर अनंत तक फैली हुई रेखा होती है। अंतराल संकेतन में, एक खुला बिंदु कोष्ठक, ( ) के साथ चित्रित किया गया है, और एक बंद बिंदु, या in या ≤ के साथ असमानताएं, कोष्ठक का उपयोग करेंगी, [ ]। के लिएएक्स> 0, लिखें (0, )।
अन्य आधा,एक्स< −2, एक संख्या रेखा पर −2 पर एक खुला बिंदु होता है और फिर −∞ तक एक तीर होता है। अंतराल संकेतन में, वह (−∞, −2) है।
"या" अंतराल संकेतन में संघ चिह्न है, ।
तो अंतराल संकेतन में समाधान है
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)
