घातांकों से निपटना सीखना किसी भी गणित शिक्षा का एक अभिन्न अंग है, लेकिन शुक्र है कि उन्हें गुणा करने और विभाजित करने के नियम गैर-आंशिक घातांक के नियमों से मेल खाते हैं। भिन्नात्मक घातांक से निपटने के तरीके को समझने के लिए पहला कदम यह जानना है कि वे वास्तव में क्या हैं, और फिर आप उन तरीकों को देख सकते हैं, जब आप घातांकों को गुणा या विभाजित करके जोड़ सकते हैं और उनके पास समान है आधार। संक्षेप में, आप गुणा करते समय घातांक को एक साथ जोड़ते हैं और विभाजित करते समय एक को दूसरे से घटाते हैं, बशर्ते उनका आधार समान हो।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
सामान्य नियम का उपयोग करके घातांक के साथ पदों को गुणा करें:
एक्सए + एक्सख = एक्स(ए + ख)
और नियम का उपयोग करके घातांक के साथ पदों को विभाजित करें:
एक्सए ÷ एक्सख = एक्स(ए – ख)
ये नियम के स्थान पर किसी भी व्यंजक के साथ कार्य करते हैंएतथाख, अंश भी।
भिन्नात्मक घातांक क्या हैं?
भिन्नात्मक घातांक वर्ग, घन और उच्च जड़ों को व्यक्त करने का एक संक्षिप्त और उपयोगी तरीका प्रदान करते हैं। घातांक पर हर आपको बताता है कि शब्द "आधार" संख्या के किस मूल का प्रतिनिधित्व करता है। जैसे शब्द में
एक्सए, आप कॉल करेंएक्सआधार औरएप्रतिपादक। तो एक भिन्नात्मक घातांक आपको बताता है:x^{1/2} = \sqrt{x}
घातांक पर दो का हर आपको बताता है कि आप का वर्गमूल ले रहे हैंएक्सइस अभिव्यक्ति में। वही मूल नियम उच्च जड़ों पर लागू होता है:
x^{1/3} = \sqrt[3]{x}
तथा
x^{1/4} = \sqrt[4]{x}
यह पैटर्न जारी है। एक ठोस उदाहरण के लिए:
9^{1/2} = \sqrt{9}=3
तथा
8^{1/3} = \sqrt[3]{8}=2
भिन्न घातांक नियम: भिन्न घातांक को समान आधार से गुणा करना
घातांकों को एक साथ जोड़कर पदों को भिन्नात्मक घातांक (बशर्ते उनका आधार समान हो) से गुणा करें। उदाहरण के लिए:
x^{1/3} × x^{1/3} × x^{1/3} = x^{(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x^1 = x
जबसेएक्स1/3 का अर्थ है "घनमूल"एक्स, "यह सही समझ में आता है कि इसे अपने आप से दो बार गुणा करने पर परिणाम मिलता हैएक्स. आप जैसे उदाहरणों में भी भाग सकते हैंएक्स1/3 × एक्स1/3, लेकिन आप इनसे बिल्कुल उसी तरह निपटते हैं:
x^{1/3} × x^{1/3} = x^{( 1/3 + 1/3)} \\ = x^{2/3}
तथ्य यह है कि अंत में अभिव्यक्ति अभी भी एक भिन्नात्मक घातांक है, इससे प्रक्रिया पर कोई फर्क नहीं पड़ता है। इसे सरल बनाया जा सकता है यदि आप ध्यान दें किएक्स2/3 = (एक्स1/3)2 = ∛एक्स2. इस तरह की अभिव्यक्ति के साथ, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप पहले जड़ लेते हैं या शक्ति। यह उदाहरण दिखाता है कि इनकी गणना कैसे करें:
8^{1/3} + 8^{1/3} = 8^{2/3} \\ = (\sqrt[3]{8})^2
चूँकि 8 का घनमूल निकालना आसान है, इसे इस प्रकार हल करें:
(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4
तो इसका मतलब है:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
आप भिन्नों के हर में भिन्न संख्याओं वाले भिन्नात्मक घातांक के उत्पाद भी पा सकते हैं, और आप इन घातांकों को उसी तरह जोड़ सकते हैं जैसे आप अन्य भिन्नों को जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए:
\शुरू {गठबंधन} x^{1/4} × x^{1/2} &= x^{(1/4 + 1/2)} \\ &= x^{(1/4 + 2/4 )} \\ &= x^{3/4} \end{संरेखित}
दो व्यंजकों को घातांक से गुणा करने के सामान्य नियम के ये सभी विशिष्ट व्यंजक हैं:
एक्स^ए + एक्स^बी = एक्स^{(ए + बी)}
भिन्न घातांक नियम: भिन्न घातांक को समान आधार से विभाजित करना
आप जिस घातांक (भाजक) को विभाजित कर रहे हैं (लाभांश) द्वारा विभाजित कर रहे घातांक को घटाकर भिन्नात्मक घातांक के साथ दो संख्याओं के विभाजन को संभालें। उदाहरण के लिए:
x^{1/2} ÷ x^{1/2} = x^{(1/2 - 1/2)} \\ = x^0 = 1
यह समझ में आता है, क्योंकि कोई भी संख्या अपने आप से विभाजित एक के बराबर होती है, और यह मानक परिणाम से सहमत होता है कि 0 की शक्ति तक कोई भी संख्या एक के बराबर होती है। अगला उदाहरण संख्याओं को आधार और विभिन्न घातांक के रूप में उपयोग करता है:
\शुरू {गठबंधन} 16^{1/2} ÷ 16^{1/4} और = 16^{(1/2 - 1/4)} \\ &= 16^{(2/4 - 1/4 )} \\ &= 16^{1/4} \\ &= 2 \end{aligned}
जिसे आप ध्यान देने पर भी देख सकते हैं कि 161/2 = 4 और 161/4 = 2.
गुणन के साथ, आप भिन्नात्मक घातांक के साथ भी समाप्त हो सकते हैं जिनके अंश में एक के अलावा एक संख्या होती है, लेकिन आप इनसे उसी तरह निपटते हैं।
ये केवल घातांक को विभाजित करने के सामान्य नियम को व्यक्त करते हैं:
एक्स^ए ÷ एक्स^बी = एक्स^{(ए - बी)}
भिन्न आधारों में भिन्नात्मक घातांक का गुणा और भाग करना
यदि पदों के आधार भिन्न हैं, तो घातांकों को गुणा या भाग करने का कोई आसान तरीका नहीं है। इन मामलों में, बस अलग-अलग शब्दों के मूल्य की गणना करें और फिर आवश्यक संचालन करें। एकमात्र अपवाद यह है कि यदि घातांक समान है, तो इस स्थिति में आप उन्हें निम्नानुसार गुणा या भाग कर सकते हैं:
x^4 × y^4 = (xy)^4 \\ x^4 ÷ y^4 = (x ÷ y)^4