द्विघात समीकरणों को हल करते समय मुझे स्वयं से क्या प्रश्न पूछने चाहिए?

कई शिक्षार्थियों के लिए, द्विघात समीकरणों को फैक्टर करना हाई स्कूल या कॉलेज बीजगणित पाठ्यक्रम के अधिक चुनौतीपूर्ण पहलुओं में से एक है। इस प्रक्रिया में व्यापक मात्रा में पूर्वापेक्षित ज्ञान की आवश्यकता होती है, जैसे कि बीजीय शब्दावली से परिचित होना और बहु-चरण रैखिक समीकरणों को हल करने की क्षमता। द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए कई तरीके हैं - जिनमें से सबसे आम हैं फैक्टरिंग, रेखांकन और द्विघात सूत्र -- और जो प्रश्न आपको स्वयं से पूछने चाहिए, वे इस बात पर निर्भर करते हैं कि आप किस पद्धति से हैं उपयोग।

चाहे आप किसी भी विधि का उपयोग कर रहे हों, आपको सबसे पहले खुद से पूछना होगा कि क्या द्विघात समीकरण शून्य के बराबर है। गणितीय रूप से कहें तो, समीकरण ax^2 + bx + c = 0 के रूप में होना चाहिए, जहां "a," "b" और "c" पूर्णांक हैं, और "a" शून्य के बराबर नहीं है। (संदर्भ 1 या संदर्भ 2 देखें) कभी-कभी समीकरण पहले से ही उस रूप में प्रस्तुत किए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, 3x^2 - x - 10 = 0। हालांकि, यदि बराबर चिह्न के दोनों पक्षों में शून्येतर पद शामिल हैं, तो आपको उन्हें दूसरी तरफ ले जाने के लिए एक तरफ से शब्दों को जोड़ना या घटाना होगा। उदाहरण के लिए, 3x^2 - x - 4 = 6 में, 3x^2 - x - 10 = 0 प्राप्त करने के लिए, आपको समीकरण के दोनों पक्षों से छह घटाना होगा।

यदि आप इस पद्धति पर विचार कर रहे हैं, तो पहले अपने आप से पूछें कि क्या वर्ग शब्द "ए" का गुणांक एक के अलावा कुछ और है। यदि ऐसा है, जैसा कि 3x^2 - x - 10 = 0 में होता है, जहां "ए" तीन है, तो दूसरी विधि का उपयोग करने पर विचार करें, क्योंकि यह फैक्टरिंग की तुलना में बहुत तेज होगा। अन्यथा, फैक्टरिंग एक तेज़ और प्रभावी तरीका हो सकता है। फैक्टरिंग करते समय, अपने आप से पूछें कि क्या आपके द्वारा कोष्ठक के अंदर रखी गई संख्याएँ "c" उत्पन्न करने के लिए गुणा करती हैं और "b" उत्पन्न करने के लिए जोड़ती हैं। उदाहरण के लिए, यदि x^2 - 5x - 36 = 0 को हल करने में, आपने (x - 9)(x + 4) = 0 लिखा है, तो आप सही रास्ते पर हैं क्योंकि -9 * 4 = -36 और -9 + 4 = -5।

इस विधि को शुरू करने से पहले, पहले यह सुनिश्चित कर लें कि आपके पास एक रेखांकन कैलकुलेटर है। यदि नहीं, तो दूसरी विधि का चयन करें, क्योंकि हाथ से रेखांकन करना बोझिल होगा। आपके द्वारा समीकरण को इनपुट करने और ग्राफ़ प्राप्त करने के बाद, अपने आप से पूछें कि क्या देखने वाली विंडो का आकार आपको समाधान खोजने में सक्षम बनाता है। आलेखीय रूप से, द्विघात समीकरण के समाधान में उन बिंदुओं के x-मान होते हैं जहां परवलय x-अक्ष को पार करता है। विशेष समीकरण के आधार पर, यदि आपकी देखने की विंडो बहुत छोटी है, तो हो सकता है कि आप इन बिंदुओं को देखने में सक्षम न हों। उदाहरण के लिए, x^2 - 11x - 26 = 0 में, यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि एक समाधान x = -2 है, लेकिन दूसरा समाधान है। समाधान शायद दिखाई नहीं दे रहा है क्योंकि यह अधिकांश रेखांकन पर मानक विंडो सेटिंग्स की तुलना में बड़ी संख्या है कैलकुलेटर। दूसरा समाधान खोजने के लिए, विंडो सेटिंग्स में x-मानों को तब तक बढ़ाएँ जब तक कि वह दिखाई न दे; इस उदाहरण में, अधिकतम मान तब तक बढ़ाएँ जब तक आप यह न देख लें कि परवलय x-अक्ष को x = 13 पर पार करता है।

द्विघात सूत्र विधि एक प्रभावी विधि हो सकती है क्योंकि यह किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए काम करती है, जिसमें अपरिमेय या काल्पनिक जड़ें भी शामिल हैं। द्विघात सूत्र है: x = [-b प्लस या घटा (b^2 - 4ac)] / (2a)] का वर्गमूल। द्विघात सूत्र में मान डालते समय, अपने आप से पूछें कि क्या आपने "ए", "बी" और "सी" की सही पहचान की है। उदाहरण के लिए, 8x^2 - 22x - 6 = 0, a = 8, b = -22, और c = -6 में। अपने आप से यह भी पूछें कि क्या "बी" नकारात्मक है - यदि ऐसा है, तो यह द्विघात सूत्र के पहले भाग में सकारात्मक होगा। इस मामले में "बी" के संकेत को उलटने की उपेक्षा करना एक सामान्य गलती है जो कई छात्र करते हैं। उदाहरण के लिए, उदाहरण [22 प्लस या माइनस (-22^2 - 4_8_-6) / (2*8)] का वर्गमूल प्राप्त करता है। शब्दों को सावधानी से सरल करें, अपने आप से पूछें कि क्या आप नकारात्मक संख्याओं को ठीक से संभाल रहे हैं और संचालन के क्रम को लागू कर रहे हैं। यदि उदाहरण का अनुसरण करते हैं, तो आपको x = 3 और x = -0.25 प्राप्त करना चाहिए।