फैक्टरिंग बहुपद गणितज्ञों को किसी फ़ंक्शन के शून्य या समाधान निर्धारित करने में मदद करता है। ये शून्य बढ़ती और घटती दरों में महत्वपूर्ण बदलाव दर्शाते हैं और आम तौर पर विश्लेषण प्रक्रिया को सरल बनाते हैं। डिग्री तीन या उच्चतर के बहुपदों के लिए, जिसका अर्थ है कि चर पर उच्चतम घातांक तीन या अधिक है, फैक्टरिंग अधिक थकाऊ हो सकती है। कुछ उदाहरणों में, समूहन विधियाँ अंकगणित को छोटा कर देती हैं, लेकिन अन्य मामलों में विश्लेषण के साथ आगे बढ़ने से पहले आपको फ़ंक्शन, या बहुपद के बारे में अधिक जानने की आवश्यकता हो सकती है।
समूहीकरण द्वारा फैक्टरिंग पर विचार करने के लिए बहुपद का विश्लेषण करें। यदि बहुपद उस रूप में है जहाँ से सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड (GCF) को हटाया जाता है पहले दो पद और अंतिम दो पद एक अन्य सामान्य कारक को प्रकट करते हैं, आप समूहीकरण को नियोजित कर सकते हैं तरीका। उदाहरण के लिए, मान लीजिए F(x) = x³ - x² - 4x + 4। जब आप पहले और अंतिम दो पदों से GCF को हटाते हैं, तो आपको निम्नलिखित मिलते हैं: x²(x – 1) – 4 (x – 1)। अब आप प्राप्त करने के लिए प्रत्येक भाग से (x – 1) निकाल सकते हैं, (x² – 4) (x – 1)। "वर्गों का अंतर" विधि का उपयोग करके, आप आगे जा सकते हैं: (x - 2) (x + 2) (x - 1)। एक बार जब प्रत्येक कारक अपने प्रमुख, या गैर-कारक रूप में होता है, तो आप कर चुके होते हैं।
अंतर या घनों के योग की तलाश करें। यदि बहुपद में केवल दो पद हैं, प्रत्येक में एक पूर्ण घन है, तो आप ज्ञात घन सूत्रों के आधार पर इसका गुणनखंड कर सकते हैं। योग के लिए, (x³ + y³) = (x + y) (x² - xy + y²)। अंतर के लिए, (x³ - y³) = (x - y) (x² + xy + y²)। उदाहरण के लिए, माना G(x) = 8x³ - 125। फिर इस तीसरे डिग्री बहुपद का गुणन घन के अंतर पर निर्भर करता है: (2x - 5) (4x² + 10x + 25), जहां 2x 8x³ का घन-मूल है और 5 125 का घन-मूल है। चूँकि 4x² + 10x + 25 अभाज्य है, इसलिए आपने फ़ैक्टरिंग पूरी कर ली है।
देखें कि क्या कोई GCF है जिसमें एक चर है जो बहुपद की डिग्री को कम कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि H(x) = x³ - 4x, "x" के GCF को निकाल दें, तो आपको x (x² - 4) प्राप्त होगा। फिर वर्ग अंतर तकनीक का उपयोग करके, आप बहुपद को x (x - 2) (x + 2) में और विभाजित कर सकते हैं।
बहुपद की डिग्री को कम करने के लिए ज्ञात समाधानों का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, मान लीजिए P(x) = x³ - 4x² - 7x + 10। चूंकि कोई GCF या घनों का अंतर/योग नहीं है, इसलिए आपको बहुपद का गुणन करने के लिए अन्य जानकारी का उपयोग करना चाहिए। एक बार जब आपको पता चलता है कि P(c) = 0, तो आप जानते हैं कि (x - c) बीजगणित के "कारक प्रमेय" के आधार पर P(x) का एक गुणनखंड है। इसलिए, ऐसा "सी" ढूंढें। इस स्थिति में, P(5) = 0, इसलिए (x - 5) एक गुणनखंड होना चाहिए। सिंथेटिक या लंबे विभाजन का उपयोग करके, आपको (x² + x – 2) का भागफल मिलता है, जो (x – 1) (x + 2) में गुणनखंड करता है। इसलिए, P(x) = (x - 5) (x - 1) (x + 2)।