कार्यों को कैसे विघटित करें

सभी बीजीय फलनों को केवल रैखिक या द्विघात समीकरणों के माध्यम से हल नहीं किया जा सकता है। अपघटन एक प्रक्रिया है जिसके द्वारा आप कर सकते हैं एक जटिल कार्य को कई छोटे कार्यों में तोड़ना. ऐसा करने से, आप छोटे, आसानी से समझ में आने वाले कार्यों के लिए हल कर सकते हैं।

यदि समीकरण के एक भाग को x के फलन के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, तो आप x के एक फलन को f (x) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:

एफ (एक्स) = 1/(एक्स^2 -2)

आप x^2 - 2 को x के एक फलन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं और इसे f (x) में रख सकते हैं। आप इस नए फलन को g (x) कह सकते हैं।

जी (एक्स) = एक्स^2 - 2एफ (एक्स) = 1/जी (एक्स)

आप f (x) को 1/g (x) के बराबर सेट कर सकते हैं क्योंकि g (x) का आउटपुट हमेशा x^2 - 2 होगा। लेकिन आप 1 को एक चर द्वारा एक फ़ंक्शन के रूप में विभाजित करके, इस फ़ंक्शन को और अधिक विघटित कर सकते हैं। इस फ़ंक्शन को एच (एक्स) पर कॉल करें:

एच (एक्स) = 1/एक्स

फिर आप f (x) को नेस्टेड दो विघटित कार्यों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

एफ (एक्स) = एच (जी (एक्स))

यह सच है क्योंकि:

h (g(x)) = h (x^2 - 2) = 1/(x^2 - 2)

विघटित कार्यों को अंदर से बाहर हल किया जाता है। f (x) = h (g(x)) का उपयोग करके, आप पहले g फ़ंक्शन के लिए हल करते हैं, फिर h फ़ंक्शन को g फ़ंक्शन के आउटपुट के साथ हल करते हैं।

उदाहरण के लिए, एक्स = 4. पहले जी (4) के लिए हल करें।

जी (4) = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14

फिर आप g के आउटपुट का उपयोग करके h को हल करते हैं, इस मामले में, 14.

एच (१४) = १/१४

चूँकि f (4) बराबर h (g(4)) है, च (4) बराबर 14.

अधिकांश कार्य जिन्हें विघटित किया जा सकता है उन्हें कई तरीकों से विघटित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप इसके बजाय निम्नलिखित कार्यों का उपयोग करके f (x) को विघटित कर सकते हैं।

जे (एक्स) = एक्स^2के (एक्स) = 1/(एक्स - 2)

j (x) को k (x) के चर के रूप में रखने से 1/(x^2 - 2) उत्पन्न होता है, इसलिए:

एफ (एक्स) = के (जे (एक्स))