गणित या भौतिकी का अध्ययन करने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए बहुपद कार्यों को हल करना एक महत्वपूर्ण कौशल है, लेकिन प्रक्रिया के साथ पकड़ बनाना - खासकर जब उच्च-क्रम के कार्यों की बात आती है - काफी चुनौतीपूर्ण हो सकता है। घन फलन सबसे चुनौतीपूर्ण प्रकार के बहुपद समीकरणों में से एक है जिसे आपको हाथ से हल करना पड़ सकता है। हालांकि यह द्विघात समीकरण को हल करने जितना सीधा नहीं हो सकता है, लेकिन कुछ तरीके हैं आप विस्तृत. के पृष्ठों और पृष्ठों का सहारा लिए बिना घन समीकरण का हल खोजने के लिए उपयोग कर सकते हैं बीजगणित।
क्यूबिक फंक्शन क्या है?
घन फलन एक तृतीय-डिग्री बहुपद है। एक सामान्य बहुपद फलन का रूप है:
f (x) = ax^n +bx^{n-1} + cx^{n-2}... vx^3+wx^2+zx+k
यहाँ, एक्स परिवर्तनशील है, नहीं बस कोई संख्या है (और बहुपद की डिग्री), क एक अचर है और अन्य अक्षर की प्रत्येक घात के लिए अचर गुणांक हैं एक्स. तो एक क्यूबिक फंक्शन है नहीं = 3, और बस है:
f (x) = ax^3 +bx^2 + cx^1+d
इस मामले में जहां घ स्थिरांक है। सामान्यतया, जब आपको एक घन समीकरण को हल करना होता है, तो आपको इसे इस रूप में प्रस्तुत किया जाएगा:
ax^3 +bx^2 + cx^1+d = 0
के लिए प्रत्येक समाधान एक्स समीकरण का "मूल" कहलाता है। घन समीकरणों में या तो एक वास्तविक मूल होता है या तीन, हालांकि उन्हें दोहराया जा सकता है, लेकिन हमेशा कम से कम एक समाधान होता है।
समीकरण के प्रकार को उच्चतम घात द्वारा परिभाषित किया जाता है, इसलिए ऊपर के उदाहरण में, यह एक घन समीकरण नहीं होगा यदि ए = 0, क्योंकि उच्चतम शक्ति शब्द होगा बीएक्स2 और यह एक द्विघात समीकरण होगा। इसका मतलब है कि निम्नलिखित सभी घन समीकरण हैं:
2x^3 + 3x^2 + 6x −9 = 0 \\ x^3 −9x + 1 = 0\\ x^3 −15x^2 = 0
कारक प्रमेय और सिंथेटिक डिवीजन का उपयोग करके हल करना
घन समीकरण को हल करने के सबसे आसान तरीके में थोड़ा सा अनुमान और एक एल्गोरिथम प्रकार की प्रक्रिया शामिल है जिसे सिंथेटिक डिवीजन कहा जाता है। हालाँकि, शुरुआत मूल रूप से घन समीकरण समाधानों के लिए परीक्षण और त्रुटि पद्धति के समान है। अनुमान लगाकर पता लगाने की कोशिश करें कि जड़ों में से एक क्या है। यदि आपके पास एक समीकरण है जहाँ पहला गुणांक है, ए, 1 के बराबर होता है, तो किसी एक मूल का अनुमान लगाना थोड़ा आसान होता है, क्योंकि वे हमेशा स्थिर पद के गुणनखंड होते हैं जिन्हें ऊपर दर्शाया गया है घ.
तो, निम्नलिखित समीकरण को देखते हुए, उदाहरण के लिए:
x^3 − 5x^2 − 2x + 24 = 0
आपको के मानों में से किसी एक का अनुमान लगाना होगा एक्स, लेकिन जबसे ए = 1 इस मामले में आप जानते हैं कि जो भी मान है, उसे 24 का गुणनखंड होना चाहिए। ऐसा पहला कारक 1 है, लेकिन यह छोड़ देगा:
1 – 5 – 2 + 24 = 18
जो शून्य नहीं है, और -1 छोड़ देगा:
−1 – 5 + 2 + 24 = 20
जो फिर से शून्य नहीं है। अगला, एक्स = 2 देगा:
8 – 20 – 4 + 24 = 8
एक और असफल। कोशिश कर रहे हैं एक्स = -2 देता है:
−8 – 20 + 4 + 24 = 0
इसका मतलब है की एक्स = -2 घन समीकरण का मूल है। यह परीक्षण और त्रुटि पद्धति के लाभ और कमियों को दर्शाता है: आप बिना ज्यादा जवाब के उत्तर प्राप्त कर सकते हैं सोचा, लेकिन यह समय लेने वाला है (विशेषकर यदि आपको जड़ खोजने से पहले उच्च कारकों पर जाना है)। सौभाग्य से, जब आपको एक मूल मिल जाता है, तो आप शेष समीकरण को आसानी से हल कर सकते हैं।
कुंजी कारक प्रमेय को शामिल कर रही है। इसमें कहा गया है कि यदि एक्स = s एक हल है, तो (एक्स – रों) एक कारक है जिसे समीकरण से बाहर निकाला जा सकता है। इस स्थिति के लिए, रों = -2, और इसलिए (एक्स + 2) एक कारक है जिसे हम छोड़ने के लिए बाहर निकाल सकते हैं:
(x + 2) (x^2 + ax + b) = 0
कोष्ठक के दूसरे समूह के पदों में द्विघात समीकरण का रूप होता है, इसलिए यदि आप के लिए उपयुक्त मान पाते हैं ए तथा ख, समीकरण हल किया जा सकता है।
यह सिंथेटिक डिवीजन का उपयोग करके पूरा किया जा सकता है। सबसे पहले, एक तालिका की शीर्ष पंक्ति पर मूल समीकरण के गुणांकों को एक विभाजन रेखा के साथ और फिर दाईं ओर ज्ञात मूल लिखें:
\def\arraystretch{1.5} \शुरू {सरणी} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array}
एक अतिरिक्त पंक्ति छोड़ दें, और फिर उसके नीचे एक क्षैतिज रेखा जोड़ें। सबसे पहले, पहली संख्या (इस मामले में) को अपनी क्षैतिज रेखा के नीचे की पंक्ति में ले जाएं
\def\arraystretch{1.5} \शुरू {सरणी} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & \\ \ hline 1 & & & & \end{सरणी }
अब उस संख्या को गुणा करें जिसे आपने अभी-अभी ज्ञात रूट से घटाया है। इस मामले में, 1 × −2 = −2, और यह सूची में अगली संख्या के नीचे इस प्रकार लिखा गया है:
\def\arraystretch{1.5} \शुरू {सरणी} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & & & & \end {सरणी}
फिर दूसरे कॉलम में संख्याएँ जोड़ें और परिणाम को क्षैतिज रेखा के नीचे रखें:
\def\arraystretch{1.5} \शुरू {सरणी} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & -7 & & & \अंत{सरणी}
अब क्षैतिज रेखा के नीचे नई संख्या के साथ आप जिस प्रक्रिया से गुजरे हैं उसे दोहराएं: से गुणा करें रूट करें, उत्तर को अगले कॉलम में खाली जगह पर रखें, और फिर कॉलम को जोड़कर एक नया नंबर प्राप्त करें निचली पंक्ति। यह छोड़ देता है:
\def\arraystretch{1.5} \शुरू {सरणी} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & & \\ \hline 1 & -7 & 12 && \end{सरणी}
और फिर अंतिम बार प्रक्रिया से गुजरें।
\def\arraystretch{1.5} \शुरू {सरणी} {cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & -24 & \\ \hline 1 & -7 और 12 और 0 और \end{सरणी}
तथ्य यह है कि अंतिम उत्तर शून्य है, आपको बताता है कि आपके पास एक वैध रूट है, इसलिए यदि यह शून्य नहीं है, तो आपने कहीं गलती की है।
अब, नीचे की पंक्ति आपको कोष्ठक के दूसरे सेट में तीन पदों के गुणनखंड बताती है, ताकि आप लिख सकें:
(x^2 - 7x + 12) = 0
इसलिए:
(x+2)(x^2 − 7x + 12) = 0
यह समाधान का सबसे महत्वपूर्ण चरण है, और आप इस बिंदु से आगे कई तरीकों से समाप्त कर सकते हैं।
गुणनखंड घन बहुपद
एक बार जब आप किसी कारक को हटा देते हैं, तो आप गुणनखंड का उपयोग करके समाधान ढूंढ सकते हैं। उपरोक्त चरण से, यह मूल रूप से एक द्विघात समीकरण के गुणनखंड के समान समस्या है, जो कुछ मामलों में चुनौतीपूर्ण हो सकता है। हालांकि, अभिव्यक्ति के लिए:
(x^2 - 7x + 12)
यदि आपको याद है कि आपके द्वारा कोष्ठक में रखे गए दो नंबरों को दूसरा गुणांक (7) देने के लिए जोड़ना होगा और तीसरा (12) देने के लिए गुणा करना होगा, तो इस मामले में यह देखना काफी आसान है:
(x^2 - 7x + 12) = (x - 3) (x - 4)
आप चाहें तो इसे जांचने के लिए गुणा कर सकते हैं। यदि आप फ़ैक्टराइज़ेशन को तुरंत नहीं देख सकते हैं तो निराश न हों; यह थोड़ा अभ्यास लेता है। यह मूल समीकरण को इस प्रकार छोड़ता है:
(एक्स + 2) (एक्स - 3) (एक्स - 4) = 0
जिसे आप तुरंत देख सकते हैं उसके पास समाधान हैं एक्स = -2, 3 और 4 (ये सभी मूल स्थिरांक 24 के गुणनखंड हैं)। सिद्धांत रूप में, समीकरण के मूल संस्करण से शुरू होने वाले पूरे गुणनखंड को देखना भी संभव हो सकता है, लेकिन यह बहुत है अधिक चुनौतीपूर्ण है, इसलिए परीक्षण और त्रुटि में से एक समाधान ढूंढना बेहतर है और किसी को खोजने का प्रयास करने से पहले उपरोक्त दृष्टिकोण का उपयोग करें गुणनखंडन
यदि आप गुणनखंडन देखने के लिए संघर्ष कर रहे हैं, तो आप द्विघात समीकरण सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
x={-b\pm\sqrt{b^2 – 4ac}\ऊपर{1pt}2a}
शेष समाधान खोजने के लिए।
क्यूबिक फॉर्मूला का उपयोग करना
हालांकि इससे निपटने के लिए यह बहुत बड़ा और कम सरल है, क्यूबिक फॉर्मूला के रूप में एक साधारण क्यूबिक इक्वेशन सॉल्वर है। यह द्विघात समीकरण सूत्र की तरह है जिसमें आप केवल input के अपने मान इनपुट करते हैं ए, ख, सी तथा घ समाधान पाने के लिए, लेकिन अभी बहुत लंबा है।
यह प्रकट करता है की:
x = (q + [q^2 + (r−p^2)^3]^{1/2})^{1/3} + (q - [q^2 + (r−p^2)^ 3]^{1/2})^{1/3} + पी
कहां है
p = {−b \ऊपर{1pt}3a}
q = p^3 + {bc−3ad \ ऊपर{1pt}6a^2}
तथा
आर = {सी \ ऊपर{1pt}3a}
इस सूत्र का उपयोग करने में समय लगता है, लेकिन यदि आप घन समीकरण समाधान और फिर द्विघात सूत्र के लिए परीक्षण और त्रुटि विधि का उपयोग नहीं करना चाहते हैं, तो यह तब काम करता है जब आप इसे पूरा करते हैं।