उच्च स्तर पर प्रत्येक बीजगणित छात्र को द्विघात समीकरणों को हल करना सीखना चाहिए। ये एक प्रकार के बहुपद समीकरण हैं जिसमें 2 की शक्ति शामिल है लेकिन कोई भी अधिक नहीं है, और उनका सामान्य रूप है:कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी= 0. आप इन्हें द्विघात समीकरण सूत्र का उपयोग करके, गुणनखंड करके या वर्ग को पूरा करके हल कर सकते हैं।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
पहले समीकरण को हल करने के लिए एक गुणनखंड की तलाश करें। अगर वहाँ एक नहीं है, लेकिनखगुणांक 2 से विभाज्य है, वर्ग पूरा करें। यदि कोई भी दृष्टिकोण आसान नहीं है, तो द्विघात समीकरण सूत्र का उपयोग करें।
समीकरण को हल करने के लिए गुणनखंड का उपयोग करना
गुणनखंडन इस तथ्य का फायदा उठाता है कि मानक द्विघात समीकरण का दाहिना हाथ शून्य के बराबर होता है। इसका अर्थ यह है कि यदि आप समीकरण को दो पदों में विभाजित कर सकते हैं, तो आप प्रत्येक ब्रैकेट को शून्य के बराबर बनाने के बारे में सोचकर समाधान निकाल सकते हैं। एक ठोस उदाहरण देने के लिए:
x^2 + 6x + 9 = 0
इसकी तुलना मानक रूप से करें:
कुल्हाड़ी^2 + बीएक्स + सी = 0
उदाहरण में,ए = 1, ख= 6 औरसी= 9. गुणनखंडन की चुनौती दो संख्याओं का पता लगाना है जो संख्या को जोड़ने के लिए एक साथ जोड़ते हैं
अत: संख्याओं को द्वारा निरूपित करते हुएघतथाइ, आप उन संख्याओं की तलाश कर रहे हैं जो संतुष्ट करती हैं:
डी + ई = बी
या इस मामले में, के साथख = 6:
डी + ई = 6
तथा
डी × ई = सी
या इस मामले में, के साथसी = 9:
डी × ई = 9
उन संख्याओं को खोजने पर ध्यान दें जो के कारक हैंसी, और फिर उन्हें एक साथ जोड़कर देखें कि क्या वे बराबर हैंख. जब आपके पास आपके नंबर हों, तो उन्हें निम्न प्रारूप में रखें:
(एक्स + डी) (एक्स + ई)
उपरोक्त उदाहरण में, दोनोंघतथाइ3 हैं:
x^2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
यदि आप कोष्ठकों को गुणा करते हैं, तो आपको फिर से मूल व्यंजक प्राप्त होगा, और अपने गुणनखंड की जाँच करने के लिए यह अच्छा अभ्यास है। आप इस प्रक्रिया के माध्यम से चला सकते हैं (पहले, आंतरिक, बाहरी और फिर कोष्ठक के अंतिम भागों को गुणा करके - अधिक विवरण के लिए संसाधन देखें) इसे उल्टा देखने के लिए:
\begin{aligned} (x + 3) (x + 3) &= (x × x) + (3 × x ) + (x × 3) + (3 × 3) \\ &= x^2 + 3x + 3x + 9 \\ &= x^2 + 6x + 9 \\ \end{aligned}
फैक्टराइजेशन प्रभावी रूप से इस प्रक्रिया से विपरीत रूप से चलता है, लेकिन इसे काम करना चुनौतीपूर्ण हो सकता है द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने का सही तरीका, और यह विधि इसके लिए प्रत्येक द्विघात समीकरण के लिए आदर्श नहीं है कारण। अक्सर आपको एक गुणनखंड का अनुमान लगाना होता है और फिर उसकी जांच करनी होती है।
समस्या अब यह है कि कोष्ठक में दिए गए किसी भी व्यंजक को आपकी पसंद के मान के माध्यम से बराबर शून्य पर लाया जाएएक्स. यदि दोनों में से कोई भी कोष्ठक शून्य के बराबर है, तो संपूर्ण समीकरण शून्य के बराबर है, और आपको एक समाधान मिल गया है। अंतिम चरण को देखें [(एक्स + 3) (एक्स+ 3) = 0] और आप देखेंगे कि केवल तभी जब कोष्ठक शून्य पर आते हैं ifएक्स= −3. हालांकि, ज्यादातर मामलों में, द्विघात समीकरणों के दो समाधान होते हैं।
फैक्टराइजेशन और भी चुनौतीपूर्ण है अगरएएक के बराबर नहीं है, लेकिन पहले तो साधारण मामलों पर ध्यान देना बेहतर है।
समीकरण को हल करने के लिए वर्ग को पूरा करना
वर्ग को पूरा करने से आपको द्विघात समीकरणों को हल करने में मदद मिलती है जिन्हें आसानी से फ़ैक्टराइज़ नहीं किया जा सकता है। यह विधि किसी भी द्विघात समीकरण के लिए काम कर सकती है, लेकिन कुछ समीकरण दूसरों की तुलना में अधिक उपयुक्त होते हैं। इस उपागम में व्यंजक को एक पूर्ण वर्ग बनाना और उसे हल करना शामिल है। एक सामान्य पूर्ण वर्ग इस तरह फैलता है:
(x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2
वर्ग को पूरा करके द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, उपरोक्त के दाईं ओर के रूप में व्यंजक प्राप्त करें। पहले संख्या को. में विभाजित करेंख2 से स्थिति, और फिर परिणाम को वर्गित करें। तो समीकरण के लिए:
x^2 + 8x = 0
गुणांकख= 8, तोख2 = 4 और (ख ÷ 2)2 = 16.
इसे प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों में जोड़ें:
x^2 + 8x + 16 = 16
ध्यान दें कि यह प्रपत्र पूर्ण वर्ग रूप से मेल खाता है, जिसमेंघ= 4, इसलिए 2घ= 8 औरघ2 = 16. इस का मतलब है कि:
x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2
इसे प्राप्त करने के लिए पिछले समीकरण में डालें:
(एक्स + 4)^2 = 16
अब. के समीकरण को हल करेंएक्स. प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लें:
x + 4 = \sqrt{16}
प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों से 4 घटाएं:
x = \sqrt{16} - 4
मूल धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है, और ऋणात्मक मूल लेने पर प्राप्त होता है:
एक्स = -4 - 4 = -8
सकारात्मक मूल के साथ दूसरा समाधान खोजें:
एक्स = 4 - 4 = 0
इसलिए एकमात्र गैर-शून्य समाधान −8 है। पुष्टि करने के लिए इसे मूल अभिव्यक्ति के साथ जांचें।
समीकरण को हल करने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करना
द्विघात समीकरण सूत्र अन्य विधियों की तुलना में अधिक जटिल लगता है, लेकिन यह सबसे विश्वसनीय तरीका है, और आप इसे किसी भी द्विघात समीकरण पर उपयोग कर सकते हैं। समीकरण मानक द्विघात समीकरण से प्रतीकों का उपयोग करता है:
कुल्हाड़ी^2 + बीएक्स + सी = 0
और बताता है कि:
x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
उनके स्थानों में उपयुक्त संख्याएँ डालें और हल करने के लिए सूत्र के माध्यम से काम करें, याद रखें कि वर्गमूल शब्द को घटाना और जोड़ना दोनों का प्रयास करें और दोनों उत्तरों को नोट करें। निम्नलिखित उदाहरण के लिए:
x^2 + 6x + 5 = 0
आपके पासए = 1, ख= 6 औरसी= 5. तो सूत्र देता है:
\शुरू {गठबंधन} x &= \frac{-6 ± \sqrt{6^2 - 4×1×5}}{2×1} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{36 - 20} }{2} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{16}}{2} \\ &= \frac{-6 ± 4}{2} \end{aligned}
सकारात्मक संकेत लेना देता है:
\शुरू {गठबंधन} x &= \frac{-6 + 4}{2} \\ &= \frac{-2}{2} \\ &= -1 \end{aligned}
और ऋणात्मक चिन्ह लेने से यह प्राप्त होता है:
\शुरू {गठबंधन} x &= \frac{-6 - 4}{2} \\ &= \frac{-10}{2} \\ &= -5 \end{aligned}
जो समीकरण के दो हल हैं।
द्विघात समीकरणों को हल करने की सर्वोत्तम विधि का निर्धारण कैसे करें
कुछ और करने की कोशिश करने से पहले एक कारक की तलाश करें। यदि आप एक को खोज सकते हैं, तो द्विघात समीकरण को हल करने का यह सबसे तेज़ और आसान तरीका है। याद रखें कि आप दो संख्याओं की तलाश कर रहे हैं जिनका योग हैखगुणांक और गुणा करने के लिएसीगुणांक। इस समीकरण के लिए:
x^2 + 5x + 6 = 0
आप देख सकते हैं कि 2 + 3 = 5 और 2 × 3 = 6, इसलिए:
x^2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
तथाएक्स= -2 याएक्स = −3.
यदि आप एक गुणनखंड नहीं देख सकते हैं, तो यह देखने के लिए जांचें कि क्याखगुणांक भिन्नों का सहारा लिए बिना 2 से विभाज्य है। यदि ऐसा है, तो वर्ग को पूरा करना शायद समीकरण को हल करने का सबसे आसान तरीका है।
यदि कोई भी दृष्टिकोण उपयुक्त नहीं लगता है, तो सूत्र का उपयोग करें। यह सबसे कठिन तरीका लगता है, लेकिन यदि आप किसी परीक्षा में हैं या अन्यथा समय के लिए धक्का दिया जाता है, तो यह प्रक्रिया को बहुत कम तनावपूर्ण और बहुत तेज़ बना सकता है।