परिवर्तन की दर विज्ञान में और विशेष रूप से भौतिकी में गति और त्वरण जैसी मात्राओं के माध्यम से दिखाई देती है। व्युत्पत्तियां एक मात्रा के परिवर्तन की दर को दूसरे के संबंध में गणितीय रूप से वर्णित करती हैं, लेकिन गणना कर रही हैं वे कभी-कभी जटिल हो सकते हैं, और आपको समीकरण में फ़ंक्शन के बजाय ग्राफ़ के साथ प्रस्तुत किया जा सकता है प्रपत्र। यदि आपको एक वक्र के ग्राफ के साथ प्रस्तुत किया गया है और इससे व्युत्पन्न खोजना है, तो आप समीकरण के साथ सटीक नहीं हो सकते हैं, लेकिन आप आसानी से ठोस अनुमान लगा सकते हैं।
टीएल; डीआर (बहुत लंबा; पढ़ा नहीं)
व्युत्पन्न का मान ज्ञात करने के लिए ग्राफ पर एक बिंदु चुनें।
इस बिंदु पर ग्राफ के वक्र पर एक सीधी रेखा की स्पर्श रेखा खींचिए।
ग्राफ पर अपने चुने हुए बिंदु पर अवकलज का मान ज्ञात करने के लिए इस रेखा का ढलान लें।
एक समीकरण को अलग करने की अमूर्त सेटिंग के बाहर, आप इस बारे में थोड़ा भ्रमित हो सकते हैं कि वास्तव में व्युत्पन्न क्या है। बीजगणित में, किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक समीकरण होता है जो आपको किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन के "ढलान" का मान बताता है। दूसरे शब्दों में, यह आपको बताता है कि दूसरे में एक छोटे से परिवर्तन के बाद एक मात्रा में कितना परिवर्तन होता है। एक ग्राफ पर, रेखा का ढाल या ढलान आपको बताता है कि आश्रित चर (पर रखा गया) कितना है
सीधी-रेखा वाले ग्राफ़ के लिए, आप ग्राफ़ के ढलान की गणना करके परिवर्तन की (स्थिर) दर निर्धारित करते हैं। घटता द्वारा वर्णित संबंधों से निपटना उतना आसान नहीं है, लेकिन यह सिद्धांत कि व्युत्पन्न का मतलब केवल ढलान (उस विशिष्ट बिंदु पर) अभी भी सही है।
वक्रों द्वारा वर्णित संबंधों के लिए, वक्र के साथ प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न एक अलग मान लेता है। ग्राफ़ के अवकलज का अनुमान लगाने के लिए, आपको अवकलज लेने के लिए एक बिंदु चुनना होगा। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास एक सीधी रेखा के ग्राफ पर समय के विरुद्ध तय की गई दूरी को दर्शाने वाला ग्राफ है, तो ढलान आपको स्थिर गति बताएगा। समय के साथ बदलने वाली गति के लिए, ग्राफ़ एक वक्र होगा, लेकिन एक सीधी रेखा जो बस को छूती है एक बिंदु पर वक्र (वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा) उस विशिष्ट पर परिवर्तन की दर का प्रतिनिधित्व करता है बिंदु।
एक ऐसा स्थान चुनें जहां आपको व्युत्पन्न जानने की आवश्यकता हो। यात्रा की गई दूरी का उपयोग करना बनाम। समय का उदाहरण, उस समय का चयन करें जिस पर आप यात्रा की गति जानना चाहते हैं। यदि आपको कई अलग-अलग बिंदुओं पर गति जानने की आवश्यकता है, तो आप प्रत्येक व्यक्तिगत बिंदु के लिए इस प्रक्रिया से गुजर सकते हैं। यदि आप गति की शुरुआत के 15 सेकंड बाद गति जानना चाहते हैं, तो वक्र पर 15 सेकंड पर स्थान चुनेंएक्स-एक्सिस।
जिस बिंदु पर आप रुचि रखते हैं, उस पर वक्र के लिए एक स्पर्शरेखा रेखा खींचें। ऐसा करते समय अपना समय लें, क्योंकि यह प्रक्रिया का सबसे महत्वपूर्ण और सबसे चुनौतीपूर्ण हिस्सा है। यदि आप अधिक सटीक स्पर्शरेखा रेखा खींचते हैं तो आपका अनुमान बेहतर होगा। एक रूलर को वक्र के बिंदु तक पकड़ें और उसके उन्मुखीकरण को समायोजित करें ताकि आपके द्वारा खींची गई रेखाकेवलवक्र को उस एकल बिंदु पर स्पर्श करें जिसमें आप रुचि रखते हैं।
अपनी रेखा तब तक खींचे जब तक ग्राफ़ अनुमति देगा। सुनिश्चित करें कि आप दोनों के लिए दो मान आसानी से पढ़ सकते हैंएक्सतथाआपनिर्देशांक, एक आपकी रेखा के प्रारंभ के निकट और एक अंत के निकट। आपको एक लंबी रेखा खींचने की आवश्यकता नहीं है (तकनीकी रूप से कोई भी सीधी रेखा उपयुक्त है), लेकिन लंबी रेखाएँ ढलान को मापने के लिए आसान होती हैं।
अपनी लाइन पर दो स्थानों का पता लगाएँ और नोट करेंएक्सतथाआपउनके लिए निर्देशांक। उदाहरण के लिए, अपनी स्पर्शरेखा रेखा की कल्पना दो उल्लेखनीय स्थानों के रूप में करेंएक्स = 1, आप= 3 औरएक्स = 10, आप= 30, जिसे आप प्वाइंट 1 और प्वाइंट 2 कह सकते हैं। प्रतीकों का प्रयोगएक्स1 तथाआप1 पहले बिंदु के निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए औरएक्स2 तथाआप2 दूसरे बिंदु के निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए, ढलानमद्वारा दिया गया है:
एम = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
यह आपको उस बिंदु पर वक्र का अवकलज बताता है जहां रेखा वक्र को छूती है। उदाहरण में,एक्स1 = 1, एक्स2 = 10, आप1 = 3 औरआप2 = 30, तो:
\शुरू {गठबंधन} मी &= \frac{30 - 3}{10 - 1} \\ \,\\ &= \frac{27}{9} \\ \,\\ &=9 \end{aligned}
उदाहरण में, यह परिणाम चुने हुए बिंदु पर गति होगी। तो अगरएक्स-अक्ष सेकंड में मापा गया था औरआप-अक्ष को मीटर में मापा गया, तो परिणाम का मतलब होगा कि विचाराधीन वाहन 3 मीटर प्रति सेकंड की गति से यात्रा कर रहा था। आप जिस विशिष्ट मात्रा की गणना कर रहे हैं, उसके बावजूद, व्युत्पन्न का अनुमान लगाने की प्रक्रिया समान है।