बीजगणित पहली सच्ची वैचारिक छलांग है जिसे छात्रों को गणित की दुनिया में बनाना चाहिए, चरों में हेरफेर करना सीखना और समीकरणों के साथ काम करना। जैसे ही आप समीकरणों के साथ काम करना शुरू करते हैं, आप कुछ सामान्य चुनौतियों का सामना करेंगे, जिनमें घातांक, भिन्न और कई चर शामिल हैं। इन सभी में कुछ बुनियादी रणनीतियों की मदद से महारत हासिल की जा सकती है।
बीजीय समीकरणों के लिए मूल रणनीति
किसी भी बीजीय समीकरण को हल करने की मूल रणनीति यह है कि पहले चर पद को एक तरफ से अलग किया जाए समीकरण का, और फिर किसी भी गुणांक को दूर करने के लिए आवश्यक उलटा संचालन लागू करें या प्रतिपादक एक उलटा ऑपरेशन दूसरे ऑपरेशन को "पूर्ववत" करता है; उदाहरण के लिए, विभाजन एक गुणांक के गुणन को "पूर्ववत" करता है, और वर्गमूल दूसरे-शक्ति घातांक के वर्ग संचालन को "पूर्ववत" करता है।
ध्यान दें कि यदि आप एक समीकरण के एक तरफ एक ऑपरेशन लागू करते हैं, तो आपको समीकरण के दूसरी तरफ भी वही ऑपरेशन लागू करना होगा। इस नियम का पालन करके आप समीकरण के पदों के एक दूसरे से संबंध बदले बिना उनके लिखे जाने के तरीके को बदल सकते हैं।
घातांक के साथ समीकरण हल करना
आप अपनी बीजगणित यात्रा के दौरान घातांकों के साथ जिस प्रकार के समीकरणों का सामना करेंगे, वे आसानी से एक पूरी किताब भर सकते हैं। अभी के लिए, सबसे बुनियादी घातांक समीकरणों में महारत हासिल करने पर ध्यान केंद्रित करें, जहां आपके पास एक घातांक के साथ एक एकल चर शब्द है। उदाहरण के लिए:
वाई^2 + 3 = 19
समीकरण के दोनों पक्षों से 3 घटाएं, चर पद को एक तरफ अलग-थलग छोड़ दें:
वाई^2 = 16
समान सूचकांक का मूलांक लगाकर घातांक को चर से दूर हटा दें। याद रखें, आपको इसे समीकरण के दोनों पक्षों में करना होगा। इस मामले में, इसका मतलब है कि दोनों पक्षों का वर्गमूल लेना:
\sqrt{y^2} = \sqrt{16}
जो सरल करता है:
वाई = 4
भिन्नों के साथ समीकरण हल करना
क्या होगा यदि आपके समीकरण में भिन्न शामिल है? के उदाहरण पर विचार करें
\frac{3}{4}(x + 7) = 6
यदि आप भिन्न को 3/4 के बीच वितरित करते हैं (एक्स+ 7), चीजें तेजी से गड़बड़ हो सकती हैं। यहाँ एक बहुत ही सरल रणनीति है।
समीकरण के दोनों पक्षों को भिन्न के हर से गुणा करें। इस मामले में, इसका मतलब है कि भिन्न के दोनों पक्षों को 4 से गुणा करना:
\frac{3}{4}(x + 7) × 4 = 6 × 4
समीकरण के दोनों पक्षों को सरल कीजिए। यह काम करता है:
3(x + 7) = 24
आप फिर से सरल कर सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप:
3x + 21 = 24
समीकरण के एक तरफ चर पद को अलग करते हुए दोनों पक्षों से 21 घटाएं:
3x = 3
अंत में, समीकरण के दोनों पक्षों को हल करने के लिए 3 से विभाजित करेंएक्स:
एक्स = 1
दो चर के साथ एक समीकरण को हल करना
यदि आपके पास हैएकदो चर के साथ समीकरण, आपको शायद उन चरों में से केवल एक के लिए हल करने के लिए कहा जाएगा। उस स्थिति में आप उसी प्रक्रिया का पालन करते हैं जैसा कि आप एक चर के साथ किसी भी बीजीय समीकरण के लिए करते हैं। उदाहरण पर विचार करें
5x + 4 = 2y
अगर आपको हल करने के लिए कहा जाता हैएक्स.
समीकरण के प्रत्येक पक्ष से 3 घटाएं, leaving को छोड़करएक्ससमान चिह्न के एक तरफ अपने आप पद:
5x = 2y - 4
गुणांक को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करेंएक्सअवधि:
x = \frac{2y - 4}{5}
यदि आपको कोई अन्य जानकारी नहीं दी जाती है, तो यह उतना ही है जितना आप गणना कर सकते हैं।
दो चर के साथ दो समीकरण हल करना
यदि आपको का एक सिस्टम (या समूह) दिया गया हैदोजिन समीकरणों में समान दो चर होते हैं, इसका आमतौर पर मतलब होता है कि समीकरण संबंधित हैं - और आप दोनों चरों के लिए मान खोजने के लिए प्रतिस्थापन नामक तकनीक का उपयोग कर सकते हैं। पिछले उदाहरण से समीकरण पर विचार करें, साथ ही एक दूसरा, संबंधित समीकरण जो समान चर का उपयोग करता है:
5x + 4 = 2y \\ x + 3y = 23
एक समीकरण चुनें, और उस समीकरण को किसी एक चर के लिए हल करें। इस मामले में, पिछले उदाहरण से पहले समीकरण के बारे में जो आप पहले से जानते हैं उसका उपयोग करें, जिसे आप पहले ही हल कर चुके हैंएक्स:
x = \frac{2y - 4}{5}
चरण 1 से परिणाम को दूसरे समीकरण में बदलें। दूसरे शब्दों में, मान को प्रतिस्थापित करें (2आप- 4)/5 के किसी भी उदाहरण के लिएएक्सदूसरे समीकरण में। यह आपको केवल एक चर के साथ एक समीकरण देता है:
\frac{2y - 4}{5} + 3y = 23
चरण 2 से समीकरण को सरल बनाएं और शेष चर के लिए हल करें, जो इस मामले में हैवाई
दोनों पक्षों को 5 से गुणा करके प्रारंभ करें:
5 × \bigg( \frac{2y - 4}{5} + 3y\bigg) = 5 × 23
यह सरल करता है:
2y - 4 + 15y = 115
समान पदों के संयोजन के बाद, यह और सरल हो जाता है:
17y = 119
और अंत में, दोनों पक्षों को 17 से विभाजित करने के बाद, आपके पास है:
वाई = 7
चरण 3 के मान को चरण 1 से समीकरण में रखें। यह आपको देता है:
x = \frac{(2 × 7) - 4}{5}
जो के मूल्य को प्रकट करने के लिए सरल करता हैएक्स:
एक्स = 2
तो समीकरणों की इस प्रणाली का हल हैएक्स= 2 औरआप = 7.