मैक्सवेल के समीकरण: परिभाषा, व्युत्पत्ति, कैसे याद रखें (w / उदाहरण)

विद्युत चुंबकत्व के रहस्यों को सुलझाना भौतिकी की अब तक की सबसे बड़ी उपलब्धियों में से एक रहा है, और सीखे गए पाठ मैक्सवेल के समीकरणों में पूरी तरह से समाहित हैं।

जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने इन चार सुरुचिपूर्ण समीकरणों को अपना नाम दिया है, लेकिन वे कई भौतिकविदों द्वारा दशकों के काम की परिणति हैं, माइकल फैराडे, आंद्रे-मैरी एम्पीयर और कार्ल फ्रेडरिक गॉस सहित - जो चार में से तीन समीकरणों को अपना नाम देते हैं - और कई अन्य। जबकि मैक्सवेल ने स्वयं चार समीकरणों में से केवल एक शब्द जोड़ा, उनके पास दूरदर्शिता और समझ थी विषय पर किए गए कार्यों का सबसे अच्छा संग्रह एकत्र करें और उन्हें अभी भी उपयोग किए जाने वाले फैशन में प्रस्तुत करें भौतिक विज्ञानी आज

कई वर्षों तक, भौतिकविदों का मानना ​​​​था कि बिजली और चुंबकत्व अलग-अलग ताकतें और अलग-अलग घटनाएं हैं। लेकिन फैराडे जैसे लोगों के प्रयोगात्मक कार्य के माध्यम से, यह तेजी से स्पष्ट हो गया कि वे वास्तव में दो पक्ष थे वही घटना, और मैक्सवेल के समीकरण इस एकीकृत तस्वीर को प्रस्तुत करते हैं जो आज भी उतनी ही मान्य है जितनी 19 वीं सदी में थी। सदी। यदि आप उच्च स्तर पर भौतिकी का अध्ययन करने जा रहे हैं, तो आपको मैक्सवेल के समीकरणों और उनका उपयोग करने के तरीके को जानने की आवश्यकता है।

मैक्सवेल के समीकरण इस प्रकार हैं, अवकलन रूप और समाकलन दोनों रूपों में। (ध्यान दें कि जहां अवकल समीकरणों का ज्ञान यहां मददगार है, वहीं इसके बिना भी एक अवधारणात्मक समझ संभव है।)

​बिजली के लिए गॉस का नियम​

विभेदक रूप:

अभिन्न रूप:

​चुंबकत्व के लिए कोई एकाधिकार कानून / गॉस कानून नहीं No​

विभेदक रूप:

अभिन्न रूप:

​फैराडे का प्रेरण का नियम​

विभेदक रूप:

अभिन्न रूप:

​एम्पीयर-मैक्सवेल कानून / एम्पीयर का नियम​

विभेदक रूप:

अभिन्न रूप:

मैक्सवेल के समीकरण प्रतीकों के एक बहुत बड़े चयन का उपयोग करते हैं, और यह महत्वपूर्ण है कि आप समझें कि इनका क्या अर्थ है यदि आप उन्हें लागू करना सीखना चाहते हैं। तो यहां इस्तेमाल किए गए प्रतीकों के अर्थों का एक रन-डाउन है:

​ख= चुंबकीय क्षेत्र

​इ= विद्युत क्षेत्र

​ρ= विद्युत आवेश घनत्व

​ε₀= मुक्त स्थान की पारगम्यता = 8.854 × 10^-12 म^-3 किलोग्राम^-1 रों⁴ ए²

​क्यू= कुल विद्युत आवेश (धनात्मक आवेशों और ऋणात्मक आवेशों का शुद्ध योग)

​𝜙​_ख = चुंबकीय प्रवाह

​जे= वर्तमान घनत्व

​मैं= विद्युत धारा

​सी= प्रकाश की चाल = 2.998 × 10⁸ एमएस

​μ​₀ = मुक्त स्थान की पारगम्यता = 4π × 10⁻⁷ एन / ए²

इसके अतिरिक्त, यह जानना महत्वपूर्ण है कि ∇ डेल ऑपरेटर है, दो मात्राओं के बीच एक बिंदु (​एक्स​ ∙ ​यू​) एक अदिश उत्पाद दिखाता है, दो राशियों के बीच एक बोल्ड गुणन प्रतीक एक सदिश उत्पाद है (​एक्स​ × ​यू​), कि एक डॉट वाले डेल ऑपरेटर को "विचलन" कहा जाता है (उदाहरण के लिए,​ एक्स​= विचलन​एक्स​= div​एक्स​) और एक स्केलर उत्पाद वाले डेल ऑपरेटर को कर्ल कहा जाता है (उदाहरण के लिए, .×​ ​​यू​= कर्ल ऑफ​यू​= कर्ल​यू​). अंततः​ए​डीओ में​ए​मतलब बंद सतह का सतह क्षेत्र जिसके लिए आप गणना कर रहे हैं (कभी-कभी d. के रूप में लिखा जाता है)​रों​), और यहरोंडीओ मेंरोंखुली सतह की सीमा का एक बहुत छोटा हिस्सा है जिसके लिए आप गणना कर रहे हैं (हालाँकि यह कभी-कभी d. होता है)मैं, एक असीम रूप से छोटी लाइन घटक का जिक्र करते हुए)।

मैक्सवेल के समीकरणों का पहला समीकरण गॉस का नियम है, और यह बताता है कि एक के माध्यम से शुद्ध विद्युत प्रवाह बंद सतह मुक्त की पारगम्यता से विभाजित आकार के अंदर निहित कुल चार्ज के बराबर है अंतरिक्ष। विद्युत क्षेत्र के संदर्भ में कूलम्ब के नियम को व्यक्त करने और परीक्षण आवेश पर इसके प्रभाव के महत्वपूर्ण कदम उठाने के बाद, यह कानून कूलम्ब के नियम से प्राप्त किया जा सकता है।

मैक्सवेल के समीकरणों में से दूसरा अनिवार्य रूप से इस कथन के बराबर है कि "कोई चुंबकीय मोनोपोल नहीं हैं।" य़ह कहता है कि एक बंद सतह के माध्यम से शुद्ध चुंबकीय प्रवाह हमेशा 0 होगा, क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र हमेशा a. का परिणाम होता है द्विध्रुव कानून बायोट-सावर्ट कानून से प्राप्त किया जा सकता है, जो वर्तमान तत्व द्वारा उत्पादित चुंबकीय क्षेत्र का वर्णन करता है।

तीसरा समीकरण - फैराडे का प्रेरण का नियम - वर्णन करता है कि कैसे एक बदलते चुंबकीय क्षेत्र तार या कंडक्टर के लूप में वोल्टेज उत्पन्न करता है। यह मूल रूप से एक प्रयोग से लिया गया था। हालांकि, परिणाम को देखते हुए कि एक बदलते चुंबकीय प्रवाह एक इलेक्ट्रोमोटिव बल (ईएमएफ या वोल्टेज) को प्रेरित करता है और इस तरह एक विद्युत प्रवाह में एक विद्युत प्रवाह होता है तार का लूप, और तथ्य यह है कि ईएमएफ को सर्किट के चारों ओर विद्युत क्षेत्र के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है, कानून को रखना आसान है साथ में।

चौथा और अंतिम समीकरण, एम्पीयर का नियम (या एम्पीयर-मैक्सवेल कानून उसे उसके लिए श्रेय देने के लिए) योगदान) वर्णन करता है कि कैसे एक गतिमान आवेश या एक बदलते विद्युत द्वारा एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न होता है मैदान। कानून प्रयोग का परिणाम है (और इसलिए - मैक्सवेल के सभी समीकरणों की तरह - वास्तव में पारंपरिक अर्थों में "व्युत्पन्न" नहीं था), लेकिन इसका उपयोग करनास्टोक्स का प्रमेयआज इस्तेमाल किए जाने वाले फॉर्म में मूल परिणाम प्राप्त करने में एक महत्वपूर्ण कदम है।

स्पष्ट होने के लिए, खासकर यदि आप अपने वेक्टर कैलकुलस पर बिल्कुल ठीक नहीं हैं, तो मैक्सवेल के समीकरण काफी कठिन दिखते हैं, भले ही वे सभी अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट हों। उन्हें वास्तव में समझने का सबसे अच्छा तरीका अभ्यास में उनका उपयोग करने के कुछ उदाहरणों से गुजरना है, और गॉस का नियम शुरू करने के लिए सबसे अच्छी जगह है। गॉस का नियम अनिवार्य रूप से एक अधिक मौलिक समीकरण है जो कूलम्ब के नियम का कार्य करता है, और यह है एक बिंदु द्वारा उत्पादित विद्युत क्षेत्र पर विचार करके कूलम्ब के नियम को प्राप्त करना बहुत आसान है चार्ज।

कॉल चार्जक्यू, गॉस के नियम को लागू करने का मुख्य बिंदु विद्युत प्रवाह की जांच करने के लिए सही "सतह" का चयन करना है। इस मामले में, एक गोला अच्छी तरह से काम करता है, जिसका सतह क्षेत्र होता हैए​ = 4π​आर​², क्योंकि आप गोले को बिंदु आवेश पर केन्द्रित कर सकते हैं। इस तरह की समस्याओं को हल करने के लिए यह एक बड़ा लाभ है क्योंकि तब आपको सतह पर एक अलग क्षेत्र को एकीकृत करने की आवश्यकता नहीं होती है; क्षेत्र बिंदु आवेश के चारों ओर सममित होगा, और इसलिए यह गोले की सतह पर स्थिर रहेगा। तो अभिन्न रूप:

के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

ध्यान दें कि​इ​क्योंकि विद्युत क्षेत्र को एक साधारण परिमाण से बदल दिया गया है, क्योंकि एक बिंदु आवेश से क्षेत्र बस स्रोत से सभी दिशाओं में समान रूप से फैल जाएगा। अब, गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल से भाग देने पर प्राप्त होता है:

चूँकि बल किसके द्वारा विद्युत क्षेत्र से संबंधित है?इ​ = ​एफ​/​क्यू, कहां हैक्यूएक परीक्षण शुल्क है,एफ​ = ​त्वरित अनुमानों, इसलिए:

जहां दो शुल्कों में अंतर करने के लिए सबस्क्रिप्ट को जोड़ा गया है। यह कूलम्ब का नियम मानक रूप में बताया गया है, जिसे गॉस के नियम का एक सरल परिणाम दिखाया गया है।

फैराडे का नियम आपको बदलते चुंबकीय क्षेत्र के परिणामस्वरूप तार के लूप में इलेक्ट्रोमोटिव बल की गणना करने की अनुमति देता है। एक साधारण उदाहरण त्रिज्या के साथ तार का एक लूप है withआर= 20 सेमी, एक चुंबकीय क्षेत्र में जो परिमाण में. से बढ़ता हैख​_मैं = 1 टी सेख​_एफ = 10 T. के स्थान मेंतो= 5 एस - इस मामले में प्रेरित ईएमएफ क्या है? कानून के अभिन्न रूप में प्रवाह शामिल है:

जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

यहां समस्या का मुख्य हिस्सा प्रवाह के परिवर्तन की दर का पता लगा रहा है, लेकिन चूंकि समस्या काफी सीधी है, आप आंशिक व्युत्पन्न को प्रत्येक मात्रा में एक साधारण "परिवर्तन" के साथ बदल सकते हैं। और इंटीग्रल का अर्थ वास्तव में इलेक्ट्रोमोटिव बल है, इसलिए आप फैराडे के प्रेरण के नियम को फिर से लिख सकते हैं:

यदि हम मान लें कि तार का लूप चुंबकीय क्षेत्र के साथ सामान्य संरेखित है,θ= 0° और इसलिए cos (θ) = 1. यह छोड़ देता है:

फिर प्रारंभिक और अंतिम चुंबकीय क्षेत्र और लूप के क्षेत्र के बीच का अंतर ज्ञात करके समस्या को हल किया जा सकता है:

यह केवल एक छोटा वोल्टेज है, लेकिन फैराडे के नियम को उसी तरह से लागू किया जाता है।

एम्पीयर-मैक्सवेल कानून मैक्सवेल के समीकरणों में से अंतिम है जिसे आपको नियमित रूप से लागू करने की आवश्यकता होगी। बदलते विद्युत क्षेत्र की अनुपस्थिति में समीकरण एम्पीयर के नियम में वापस आ जाता है, इसलिए यह विचार करने का सबसे आसान उदाहरण है। आप इसका उपयोग करंट ले जाने वाले एक सीधे तार से उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र के समीकरण को प्राप्त करने के लिए कर सकते हैंमैं, और यह मूल उदाहरण यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि समीकरण का उपयोग कैसे किया जाता है। पूरा कानून है:

लेकिन कोई बदलते विद्युत क्षेत्र के साथ यह कम हो जाता है:

अब, गॉस के नियम की तरह, यदि आप तार के लूप पर केंद्रित सतह के लिए एक वृत्त चुनते हैं, तो अंतर्ज्ञान बताता है कि परिणामी चुंबकीय क्षेत्र सममित होगा, और इसलिए आप इंटीग्रल को लूप की परिधि और चुंबकीय क्षेत्र की ताकत के एक साधारण उत्पाद से बदल सकते हैं, जा रहा है:

2π. से भाग देनाआरदेता है:

दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र के लिए स्वीकृत व्यंजक कौन सा हैआरकरंट ले जाने वाले एक सीधे तार के परिणामस्वरूप।

जब मैक्सवेल ने अपने समीकरणों के सेट को इकट्ठा किया, तो उन्होंने विभिन्न समीकरणों को समझाने में मदद करने के लिए उनका समाधान खोजना शुरू किया वास्तविक दुनिया में घटनाएं, और इसके द्वारा प्रकाश में दी गई अंतर्दृष्टि सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से एक है प्राप्त किया।

क्योंकि एक परिवर्तित विद्युत क्षेत्र एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है (एम्पीयर के नियम के अनुसार) और एक बदलते चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है एक विद्युत क्षेत्र (फैराडे के नियम द्वारा), मैक्सवेल ने काम किया कि एक स्व-प्रसारित विद्युत चुम्बकीय तरंग हो सकती है संभव के। उन्होंने अपने समीकरणों का उपयोग तरंग समीकरण को खोजने के लिए किया जो इस तरह की लहर का वर्णन करेगा और यह निर्धारित करेगा कि यह प्रकाश की गति से यात्रा करेगा। यह एक प्रकार का "यूरेका" क्षण था; उन्होंने महसूस किया कि प्रकाश विद्युत चुम्बकीय विकिरण का एक रूप है, जिस क्षेत्र की उन्होंने कल्पना की थी, ठीक उसी तरह काम कर रहा था!

एक विद्युत चुम्बकीय तरंग में एक विद्युत क्षेत्र तरंग और एक चुंबकीय क्षेत्र तरंग होती है जो आगे-पीछे दोलन करती है, एक दूसरे से समकोण पर संरेखित होती है। तरंग के विद्युत भाग के दोलन से चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न होता है, और इस भाग के दोलन से अंतरिक्ष में यात्रा करते समय फिर से एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न होता है।

किसी भी अन्य तरंग की तरह, एक विद्युत चुम्बकीय तरंग में एक आवृत्ति और एक तरंग दैर्ध्य होता है, और इनका उत्पाद हमेशा बराबर होता हैसी, प्रकाश की गति। विद्युत चुम्बकीय तरंगें हमारे चारों ओर हैं, और दृश्य प्रकाश के साथ-साथ अन्य तरंग दैर्ध्य को आमतौर पर रेडियो तरंगें, माइक्रोवेव, अवरक्त, पराबैंगनी, एक्स-रे और गामा किरणें कहा जाता है। विद्युत चुम्बकीय विकिरण के इन सभी रूपों का एक ही मूल रूप है जैसा कि मैक्सवेल के समीकरणों द्वारा समझाया गया है, लेकिन उनकी ऊर्जा आवृत्ति के साथ बदलती है (यानी, एक उच्च आवृत्ति का मतलब उच्च ऊर्जा है)।

तो, एक भौतिक विज्ञानी के लिए, मैक्सवेल ही थे जिन्होंने कहा, "प्रकाश होने दो!"