दो अदिश राशियों का गुणनफल एक अदिश है, और एक सदिश के साथ एक अदिश का गुणनफल एक सदिश है, लेकिन दो सदिशों के गुणनफल के बारे में क्या? क्या यह एक अदिश राशि है, या कोई अन्य सदिश? जवाब है, यह या तो हो सकता है!
वैक्टर को एक साथ गुणा करने के दो तरीके हैं। एक उनके डॉट उत्पाद को ले रहा है, जो एक स्केलर उत्पन्न करता है, और दूसरा उनका क्रॉस उत्पाद लेकर है, जो एक और वेक्टर उत्पन्न करता है। किस उत्पाद का उपयोग करना है यह विशेष परिदृश्य पर निर्भर करता है और आप किस मात्रा को खोजने का प्रयास कर रहे हैं।
डॉट उत्पादकभी-कभी. के रूप में जाना जाता हैअदिश उत्पादयाअंदरूनी प्रोडक्ट. ज्यामितीय रूप से, आप दो वैक्टर के बीच डॉट उत्पाद को वेक्टर मानों को गुणा करने के तरीके के रूप में सोच सकते हैं जो केवल समान-दिशा योगदान की गणना करता है।
- नोट: डॉट उत्पाद नकारात्मक या सकारात्मक हो सकते हैं, लेकिन वह संकेत दिशा का संकेत नहीं है। हालांकि एक आयाम में, वेक्टर दिशा को अक्सर संकेत के साथ दर्शाया जाता है, अदिश राशियों में उनके साथ जुड़े संकेत भी हो सकते हैं जो दिशा संकेतक नहीं हैं। ऋण इसके कई उदाहरणों में से एक है।
डॉट उत्पाद की परिभाषा
वैक्टर का डॉट उत्पादए = (एएक्स, एआप)तथाख = (बीएक्स, बीआप)एक मानक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
\बोल्ड{a\cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
जब आप किसी वेक्टर के डॉट उत्पाद को अपने साथ लेते हैं, तो एक दिलचस्प संबंध सामने आता है:
\bold{a\cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = |\bold{a}|^2
कहाँ |ए| का परिमाण (लंबाई) हैएपाइथागोरस प्रमेय द्वारा।
एक अन्य डॉट उत्पाद सूत्र कोसाइन के नियम का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। यह अग्रानुसार होगा:
गैर शून्य वैक्टर पर विचार करेंएतथाखसाथ में उनके अंतर वेक्टरए - बी. त्रिभुज बनाने के लिए तीन सदिशों को व्यवस्थित करें।
त्रिकोणमिति से कोसाइन का नियम हमें बताता है कि:
|\bold{ab}|^2 = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta )
और डॉट उत्पाद की परिभाषा का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं:
|\bold{ab}|^2 = (\bold{ab})\cdot (\bold{ab}) = (a_x-b_X)^2 + (a_y-b_y)^2\\ = (a_x)^2 + (b_x)^2 - 2a_xb_x + (a_y)^2 + (b_y)^2 - 2a_yb_y\\ = |\bold{a}|^2 + |\bold{b}|^2 - 2\bold{a \cdot b}
दोनों भावों को बराबर करने और फिर सरलीकरण करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
\cancel{|\bold{a}|^2} + \cancel{|\bold{b}|^2} - 2\bold{a \cdot b} = \cancel{|\bold{a}|^2 } + \रद्द करें{|\बोल्ड{b}|^2} - 2|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\text{ }\\\ का अर्थ है \ boxed{\bold{a \cdot b} = |\bold{a} ||\बोल्ड{b}|\cos(\theta)}
यह फॉर्मूलेशन हमारे ज्यामितीय अंतर्ज्ञान को खेल में आने की अनुमति देता है। मात्रा |ए|cos (θ) वेक्टर के प्रक्षेपण का परिमाण हैएवेक्टर परख.
इसलिए हम डॉट उत्पाद को दूसरे पर एक वेक्टर के प्रक्षेपण के रूप में सोच सकते हैं, और फिर उनके मूल्यों के उत्पाद के बारे में सोच सकते हैं। दूसरे शब्दों में, इसे एक वेक्टर के उत्पाद के रूप में देखा जा सकता है जिसमें दूसरे वेक्टर की मात्रा उसी दिशा में होती है।
डॉट उत्पाद के गुण
डॉट उत्पाद के कई गुण निम्नलिखित हैं जो आपको उपयोगी लग सकते हैं:
\#\पाठ{1. अगर } \theta = 0\text{, तो } \bold{a \cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|
ऐसा इसलिए है क्योंकि कॉस (0) = 1।
\#\पाठ{2. अगर } \theta = 180\text{, तो }\bold{a \cdot b} = -|\bold{a}||\bold{b}|
ऐसा इसलिए है क्योंकि कॉस (180) = -1।
\#\पाठ{3. अगर } \थीटा = 90\पाठ{, तो } \bold{a \cdot b} = 0
ऐसा इसलिए है क्योंकि cos (90) = 0.
- नोट: 0 <.>
θ
<90, डॉट उत्पाद सकारात्मक होगा, और 90 <.>
θ
<180, डॉट उत्पाद नकारात्मक होगा।
\#\पाठ{4. } \बोल्ड{a\cdot b} = \bold{b\cdot a}
यह कम्यूटेटिव कानून को डॉट उत्पाद परिभाषा पर लागू करने से होता है।
\#\पाठ{5. } \bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a\cdot b} + \bold{a\cdot c}
सबूत:
\bold{a\cdot (b+c)} = \bold{a}\cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ =a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y)\\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y)\\ = \bold{a\cdot b} + \बोल्ड{a\cdot c}
\#\पाठ{6. } c(\bold{a\cdot b}) = (c\bold{a})\cdot \bold{b}
सबूत:
c(\bold{a\cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y)\\ = ca_xb_x + ca_yb_y\\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y\\ = (c\bold{a})\cdot \ बोल्ड {बी}
डॉट उत्पाद कैसे खोजें
उदाहरण 1:भौतिकी में, एक बल द्वारा किया गया कार्यएफकिसी वस्तु पर जब वह विस्थापन से गुजरती हैघ, परिभाषित किया जाता है:
W=\bold{F}\cdot \bold{d} = |\bold{F}||\bold{d}|\cos(\theta)
जहाँ बल सदिश और विस्थापन सदिश के बीच का कोण है।
किसी बल द्वारा किया गया कार्य इस बात का सूचक है कि उस बल ने विस्थापन में कितना योगदान दिया। यदि बल विस्थापन (cos () = 0) के समान दिशा में है, तो यह अपना अधिकतम योगदान देता है। यदि यह विस्थापन के लंबवत है (cos(Ѳ) = 90), इसका कोई योगदान नहीं है। और अगर यह विस्थापन के विपरीत है, (cos (θ) = 180), तो यह एक नकारात्मक योगदान देता है।
मान लीजिए कोई बच्चा एक टॉय ट्रेन को ट्रैक की लाइन के संबंध में 25 डिग्री के कोण पर 5 N का बल लगाकर ट्रैक पर धकेलता है। ट्रेन में 0.5 मीटर चलने पर बच्चा कितना काम करता है?
समाधान:
एफ = 5 \पाठ{ एन}\\ डी = 0.5\पाठ{एम}\\ \थीटा = 25\डिग्री\\
काम की डॉट उत्पाद परिभाषा का उपयोग करना, और मूल्यों में प्लगिंग करना हमें तब मिलता है:
W = Fd\cos(\theta) = 5\times0.5\times\cos (25) = \boxed{2.27\text{J}}
इस ठोस उदाहरण से, यह और भी स्पष्ट हो जाना चाहिए कि विस्थापन की दिशा में लंबवत बल लगाने से कोई काम नहीं होता है। यदि बच्चा ट्रेन को ट्रैक पर समकोण पर धकेलता है तो ट्रेन ट्रैक के साथ आगे या पीछे नहीं चलेगी। यह भी सहज ज्ञान युक्त है कि जैसे-जैसे कोण घटता जाएगा और बल और विस्थापन संरेखण के करीब होते जाएंगे, ट्रेन में बच्चे द्वारा किया गया कार्य बढ़ता जाएगा।
उदाहरण 2:शक्ति भौतिक मात्रा का एक और उदाहरण है जिसे डॉट उत्पाद का उपयोग करके गणना की जा सकती है। भौतिकी में, शक्ति समय से विभाजित कार्य के बराबर होती है, लेकिन इसे बल और वेग के डॉट उत्पाद के रूप में भी लिखा जा सकता है जैसा कि दिखाया गया है:
P = \frac{W}{t} = \frac{\bold{F\cdot d}}{t} = \bold{F}\cdot \frac{\bold{d}}{t} = \bold{ एफ\सीडॉट वी}
कहा पेवीवेग है।
ट्रेन के साथ खेलने वाले बच्चे के पिछले उदाहरण पर विचार करें। यदि इसके बजाय हमें बताया जाता है कि समान बल लगाया जाता है जिससे ट्रेन 2 मीटर/सेकेंड पर ट्रैक से नीचे जाती है, तो हम शक्ति खोजने के लिए डॉट उत्पाद का उपयोग कर सकते हैं:
P = \bold{F\cdot v} = Fv\cos(\theta) = 5\times2\times\cos (25) = 9.06\text{ वाट्स}
उदाहरण 3:एक अन्य उदाहरण जहां भौतिकी में डॉट उत्पादों का उपयोग किया जाता है, चुंबकीय प्रवाह के मामले में है। चुंबकीय प्रवाह किसी दिए गए क्षेत्र से गुजरने वाले चुंबकीय क्षेत्र की मात्रा है। यह चुंबकीय क्षेत्र के डॉट उत्पाद के रूप में पाया जाता हैखक्षेत्र के साथए. (क्षेत्र सदिश की दिशा हैसाधारण, या लंबवत, क्षेत्र की सतह पर।)
\Phi=\bold{B\cdot A}
मान लीजिए 0.02 टेस्ला का एक क्षेत्र 10 सेमी त्रिज्या के तार के लूप से गुजरता है, जो सामान्य के साथ 30 डिग्री का कोण बनाता है। प्रवाह क्या है?
\Phi=\bold{B\cdot A} = BA\cos(\theta) = 0.02\times(\pi\times0.1^2)\times\cos (30) = 0.000544\text{ Wb}
जब यह फ्लक्स बदलता है, या तो फ़ील्ड मान बदलकर, लूप क्षेत्र बदलकर या बदल कर लूप या फील्ड स्रोत को घुमाकर कोण, लूप में करंट को प्रेरित करेगा, उत्पन्न करेगा बिजली!
फिर से ध्यान दें कि सहज तरीके से कोण कैसे प्रासंगिक है। यदि कोण 90 डिग्री था, तो इसका मतलब यह होगा कि क्षेत्र क्षेत्र के समान विमान के साथ स्थित होगा और कोई भी क्षेत्र रेखा लूप से नहीं गुजरेगी, जिसके परिणामस्वरूप कोई प्रवाह नहीं होगा। फ्लक्स की मात्रा तब क्षेत्र के बीच के कोण के करीब बढ़ जाती है और सामान्य 0 हो जाता है। डॉट उत्पाद हमें यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि सतह के लिए सामान्य दिशा में कितना क्षेत्र है, और इसलिए प्रवाह में योगदान दे रहा है।
वेक्टर प्रोजेक्शन और डॉट उत्पाद
पहले के खंडों में, यह उल्लेख किया गया था कि डॉट उत्पाद को एक वेक्टर को दूसरे पर प्रक्षेपित करने और फिर उनके परिमाण को गुणा करने के तरीके के रूप में माना जा सकता है। जैसे, यह आश्चर्यजनक नहीं होना चाहिए कि वेक्टर प्रक्षेपण के लिए एक सूत्र डॉट उत्पाद से प्राप्त किया जा सकता है।
वेक्टर प्रोजेक्ट करने के लिएएवेक्टर परख, हम का डॉट उत्पाद लेते हैंएके साथइकाई वेक्टरकम हैख, और फिर इस अदिश परिणाम को उसी इकाई सदिश से गुणा करें।
एक इकाई वेक्टर लंबाई 1 का एक वेक्टर होता है जो एक विशेष दिशा में स्थित होता है। वेक्टर की दिशा में इकाई वेक्टरखबस वेक्टर हैखइसके परिमाण से विभाजित:
\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|}
तो यह प्रक्षेपण तब है:
\text{प्रोजेक्शन }\bold{a}\text{ पर }\bold{b} = \Big(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} \बड़ा)\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|} = \बड़ा(\bold{a}\cdot\frac{\bold{b}}{|\bold{b}|^ 2}\बड़ा)\बोल्ड{बी}
उच्च आयाम में डॉट उत्पाद
जैसे वेक्टर उच्च आयाम में मौजूद होते हैं, वैसे ही डॉट उत्पाद भी होता है। ट्रेन को फिर से धक्का देने वाले बच्चे के उदाहरण की कल्पना करें। मान लीजिए कि वह नीचे की ओर और ट्रैक के किनारे एक कोण पर दोनों को धक्का देती है। एक मानक समन्वय प्रणाली में, बल और विस्थापन वैक्टर को त्रि-आयामी के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता होगी।
मेंनहींआयाम, डॉट उत्पाद को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
\bold{a\cdot b} = \overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n
सभी समान डॉट उत्पाद गुण अभी भी लागू होते हैं, और कोसाइन का नियम एक बार फिर से संबंध देता है:
\bold{a \cdot b} = |\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)
जहां प्रत्येक वेक्टर का परिमाण निम्नलिखित के माध्यम से पाया जाता है, फिर से पाइथागोरस प्रमेय के अनुरूप:
|\bold{a}|=\sqrt{\bold{a\cdot a}}=\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+...+(a_n)^2}
डॉट उत्पाद को तीन आयामों में कैसे खोजें
उदाहरण 1:दो वैक्टर के बीच कोण खोजने की आवश्यकता होने पर डॉट उत्पाद विशेष रूप से उपयोगी होता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम. के बीच का कोण निर्धारित करना चाहते हैंए= (2, 3, 2) औरख= (1, 4, 0). यहां तक कि अगर आप उन दो वैक्टरों को 3-स्पेस में स्केच करते हैं, तो अपने सिर को ज्यामिति के चारों ओर लपेटना बहुत मुश्किल हो सकता है। लेकिन गणित काफी सीधा है, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि:
\bold{a \cdot b}=|\bold{a}||\bold{b}|\cos(\theta)\\\ का अर्थ है \theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\ बोल्ड{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\बड़ा)
फिर के डॉट उत्पाद की गणनाएतथाख:
\बोल्ड{a\cdot b}=2\times1+3\times4+2\times0=14
और प्रत्येक वेक्टर के परिमाण की गणना:
|\bold{a}|=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{17}=4.12\\|\bold{b}|=\sqrt{1^2+4^ 2+0^2}=\sqrt{17}=4.12
और अंत में सब कुछ प्लग इन करते हुए, हमें मिलता है:
\theta=\cos^{-1}\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{a}||\bold{b}|}\Big)=\cos^{- 1}\बड़ा(\frac{14}{4.12\बार 4.12}\बड़ा)=\बॉक्सिंग{34.4\डिग्री}
उदाहरण 2:त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समन्वय बिंदु (3, 5, 4) पर एक सकारात्मक चार्ज बैठता है। वेक्टर की दिशा में इंगित करने वाली रेखा के साथ किस बिंदु परए= (6, 9, 5) विद्युत क्षेत्र सबसे बड़ा है?
हल: विद्युत क्षेत्र की ताकत दूरी से कैसे संबंधित है, इस बारे में हमारे ज्ञान से, हम जानते हैं कि बिंदु उस रेखा पर जो धन आवेश के सबसे निकट है वह स्थान है जहाँ क्षेत्र होगा सबसे मजबूत। डॉट उत्पादों के बारे में हमारे ज्ञान से, हम अनुमान लगा सकते हैं कि प्रोजेक्शन फॉर्मूला का उपयोग करना यहां समझ में आता है। वह सूत्र हमें एक सदिश देना चाहिए जिसका सिरा ठीक उसी बिंदु पर हो जिसकी हम तलाश कर रहे हैं।
हमें गणना करने की आवश्यकता है:
\text{Projection of }(3, 5, 4)\text{ पर }\bold{a}=\Big((3,5,4)\cdot\frac{\bold{a}}{|\bold{ a}|^2}\बड़ा)\बोल्ड{a}
ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, खोजते हैं |ए|2:
|\bold{a}|^2=6^2+9^2+5^2=142
फिर डॉट उत्पाद:
(3,5,4)\cdot (6,9,5)=3\times6+5\times9+4\times5=83
इसे विभाजित करके |ए|2 83/142 = 0.585 देता है। फिर इस अदिश को गुणा करकेएदेता है:
0.585\बोल्ड{ए}=0.585 \बार (6,9,5)=(3.51,5.27,2.93)
अत: रेखा के अनुदिश वह बिंदु जहां क्षेत्र सबसे मजबूत है (3.51, 5.27, 2.93) है।
