चाहे वह एक आइस स्केटर अपनी बाहों में खींच रहा हो और जितनी तेज़ी से घूम रहा हो, या एक बिल्ली नियंत्रित कर रही हो कि वह कितनी तेज़ी से घूमती है गिरने के दौरान यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह अपने पैरों पर उतरता है, जड़ता के क्षण की अवधारणा घूर्णी भौतिकी के लिए महत्वपूर्ण है गति।
अन्यथा घूर्णी जड़ता के रूप में जाना जाता है, जड़ता का क्षण द्रव्यमान का घूर्णी एनालॉग है न्यूटन के गति के नियमों का दूसरा, कोणीय त्वरण का विरोध करने के लिए किसी वस्तु की प्रवृत्ति का वर्णन करना।
अवधारणा पहली बार में बहुत दिलचस्प नहीं लग सकती है, लेकिन कोणीय के संरक्षण के कानून के संयोजन में गति, इसका उपयोग कई आकर्षक भौतिक घटनाओं का वर्णन करने और गति की एक विस्तृत श्रृंखला में भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है स्थितियां।
जड़ता के क्षण की परिभाषा
किसी वस्तु के लिए जड़ता का क्षण उसके कोणीय त्वरण के प्रतिरोध का वर्णन करता है, जो घूर्णन की धुरी के चारों ओर द्रव्यमान के वितरण के लिए लेखांकन करता है।
यह अनिवार्य रूप से परिमाणित करता है कि किसी वस्तु के घूमने की गति को बदलना कितना मुश्किल है, चाहे इसका मतलब उसका घूमना शुरू करना, उसे रोकना या पहले से घूमने वाली वस्तु की गति को बदलना हो।
इसे कभी-कभी घूर्णी जड़ता कहा जाता है, और इसके बारे में न्यूटन के दूसरे नियम में द्रव्यमान के एक एनालॉग के रूप में सोचना उपयोगी है:एफजाल = एमए. यहां, किसी वस्तु के द्रव्यमान को अक्सर जड़त्वीय द्रव्यमान कहा जाता है, और यह वस्तु के प्रतिरोध (रैखिक) गति का वर्णन करता है। घूर्णी जड़ता घूर्णी गति के लिए ठीक इसी तरह काम करती है, और गणितीय परिभाषा में हमेशा द्रव्यमान शामिल होता है।
घूर्णी गति के दूसरे नियम के समतुल्य व्यंजक संबंधित हैटॉर्कः (τ, बल का घूर्णी एनालॉग) कोणीय त्वरण के लिएαऔर जड़ता का क्षणमैं:
\tau =मैं\alpha
हालाँकि, एक ही वस्तु में जड़त्व के कई क्षण हो सकते हैं, क्योंकि परिभाषा का एक बड़ा हिस्सा द्रव्यमान के वितरण के बारे में है, लेकिन यह रोटेशन की धुरी के स्थान के लिए भी जिम्मेदार है।
उदाहरण के लिए, जबकि इसके केंद्र के चारों ओर घूमने वाली छड़ के लिए जड़ता का क्षण हैमैं = एमएल2/12 (जहाँमद्रव्यमान है औरलीरॉड की लंबाई है), एक ही रॉड एक छोर के चारों ओर घूमती है जिसमें जड़ता का क्षण होता हैमैं = एमएल2/3.
जड़ता के क्षण के लिए समीकरण
अत: किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण उसके द्रव्यमान परम, इसकी त्रिज्याआरऔर इसके घूर्णन की धुरी।
कुछ मामलों में,आरके रूप में जाना जाता हैघ, रोटेशन की धुरी से दूरी के लिए, और अन्य में (जैसा कि पिछले भाग में रॉड के साथ) इसे लंबाई से बदल दिया गया है,ली. प्रतीकमैंजड़ता के क्षण के लिए उपयोग किया जाता है, और इसकी इकाइयाँ kg m. होती हैं2.
जैसा कि आपने अब तक जो सीखा है, उसके आधार पर आप उम्मीद कर सकते हैं, जड़त्व के क्षण के लिए कई अलग-अलग समीकरण हैं, और प्रत्येक एक विशिष्ट आकार और एक विशिष्ट रोटेशन अक्ष को संदर्भित करता है। जड़ता के सभी क्षणों में, पदश्री ग2 प्रतीत होता है, हालांकि विभिन्न आकृतियों के लिए इस पद के सामने भिन्न भिन्न हैं, और कुछ मामलों में एक साथ कई शब्दों का योग हो सकता है।
श्री ग2 घटक दूरी पर एक बिंदु द्रव्यमान के लिए जड़ता का क्षण हैआररोटेशन की धुरी से, और एक विशिष्ट कठोर शरीर के लिए समीकरण को बिंदु द्रव्यमान के योग के रूप में बनाया जाता है, या वस्तु पर अनंत संख्या में छोटे बिंदु द्रव्यमान को एकीकृत करके बनाया जाता है।
जबकि कुछ मामलों में किसी वस्तु की जड़ता के क्षण को बिंदु द्रव्यमान के साधारण अंकगणितीय योग के आधार पर या द्वारा प्राप्त करना उपयोगी हो सकता है एकीकृत करना, व्यवहार में सामान्य आकृतियों और रोटेशन की कुल्हाड़ियों के लिए कई परिणाम होते हैं जिनका उपयोग आप इसे प्राप्त करने की आवश्यकता के बिना आसानी से कर सकते हैं प्रथम:
ठोस सिलेंडर (समरूपता अक्ष):
मैं = \frac{1}{2} MR^2
ठोस सिलेंडर (केंद्रीय व्यास अक्ष, या सिलेंडर के बीच में गोलाकार क्रॉस-सेक्शन का व्यास):
मैं = \frac{1}{4} MR^2+\frac{1}{12} ML^2
ठोस क्षेत्र (केंद्रीय अक्ष):
मैं = \frac{2}{5} एमआर^2
पतला गोलाकार खोल (केंद्रीय अक्ष):
मैं = \frac{2}{3} एमआर^2
घेरा (समरूपता अक्ष, यानी केंद्र के माध्यम से लंबवत):
मैं = एमआर^2
घेरा (व्यास अक्ष, यानी घेरा द्वारा गठित वृत्त के व्यास के पार):
मैं = \frac{1}{2} MR^2
रॉड (केंद्र अक्ष, रॉड की लंबाई के लंबवत):
मैं = \frac{1}{12} एमएल^2
रॉड (अंत के बारे में घूर्णन):
मैं = \frac{1}{3} एमएल^2
घूर्णी जड़ता और घूर्णन की धुरी
यह समझना कि रोटेशन के प्रत्येक अक्ष के लिए अलग-अलग समीकरण क्यों हैं, जड़त्व के क्षण की अवधारणा को समझने के लिए एक महत्वपूर्ण कदम है।
एक पेंसिल के बारे में सोचें: आप इसे बीच में घुमाकर, अंत तक या इसकी केंद्रीय धुरी के चारों ओर घुमाकर घुमा सकते हैं। चूंकि किसी वस्तु की घूर्णन जड़ता घूर्णन की धुरी के बारे में द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करती है, इनमें से प्रत्येक स्थिति अलग होती है और इसका वर्णन करने के लिए एक अलग समीकरण की आवश्यकता होती है।
आप जड़ता के क्षण की अवधारणा की सहज समझ प्राप्त कर सकते हैं यदि आप इसी तर्क को 30-फुट ध्वज ध्रुव तक मापते हैं।
इसे अंत तक घुमाना बहुत मुश्किल होगा - यदि आप इसे बिल्कुल भी प्रबंधित कर सकते हैं - जबकि ध्रुव को इसके केंद्रीय अक्ष के बारे में घुमाना बहुत आसान होगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि टोक़ रोटेशन की धुरी से दूरी पर और 30 फुट. में दृढ़ता से निर्भर करता है ध्वज ध्रुव उदाहरण, इसे अंत में कताई करना के अक्ष से 15 फीट दूर प्रत्येक चरम छोर को शामिल करता है रोटेशन।
हालाँकि, यदि आप इसे केंद्रीय अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो सब कुछ अक्ष के काफी करीब है। स्थिति काफी हद तक हाथ की लंबाई बनाम भारी वस्तु को ले जाने जैसी है। इसे अपने शरीर के करीब रखना, या अंत से लीवर का संचालन करना बनाम। फुलक्रम के करीब।
यही कारण है कि रोटेशन अक्ष के आधार पर एक ही वस्तु के लिए जड़ता के क्षण का वर्णन करने के लिए आपको एक अलग समीकरण की आवश्यकता होती है। आपके द्वारा चुनी गई धुरी इस बात को प्रभावित करती है कि शरीर के कितने हिस्से रोटेशन की धुरी से दूर हैं, भले ही शरीर का द्रव्यमान समान रहे।
जड़ता के क्षण के लिए समीकरणों का उपयोग करना
एक कठोर शरीर के लिए जड़ता के क्षण की गणना करने की कुंजी उपयुक्त समीकरणों का उपयोग करना और लागू करना सीख रही है।
पिछले अनुभाग से पेंसिल पर विचार करें, इसकी लंबाई के साथ एक केंद्रीय बिंदु के चारों ओर एंड-ओवर-एंड काता जा रहा है। जबकि यह एक नहीं हैउत्तमरॉड (उदाहरण के लिए, नुकीला सिरा इस आकार को तोड़ता है) इसे इस तरह से बनाया जा सकता है ताकि आपको वस्तु के लिए जड़ता व्युत्पत्ति के पूरे क्षण से गुजरना पड़े।
तो वस्तु को एक छड़ के रूप में मॉडलिंग करते हुए, आप पेंसिल के कुल द्रव्यमान और लंबाई के साथ संयुक्त जड़ता के क्षण को खोजने के लिए निम्नलिखित समीकरण का उपयोग करेंगे:
मैं = \frac{1}{12} एमएल^2
एक बड़ी चुनौती समग्र वस्तुओं के लिए जड़ता का क्षण ढूंढ रही है।
उदाहरण के लिए, एक छड़ द्वारा आपस में जुड़ी दो गेंदों पर विचार करें (जिसे हम समस्या को सरल बनाने के लिए द्रव्यमान रहित मानेंगे)। गेंद एक 2 किलो है और रोटेशन की धुरी से 2 मीटर दूर स्थित है, और गेंद दो द्रव्यमान में 5 किलो और रोटेशन अक्ष से 3 मीटर दूर है।
इस मामले में, आप प्रत्येक गेंद को एक बिंदु द्रव्यमान मानकर और मूल परिभाषा से काम करके इस समग्र वस्तु के लिए जड़ता का क्षण पा सकते हैं:
\शुरू {गठबंधन} I &= m_1r_1^2 + m_2r_2^2 + m_3r_3^2….\\ &= \sum_{\mathclap{i}}m_ir_i^2 \end{aligned}
सबस्क्रिप्ट के साथ बस अलग-अलग ऑब्जेक्ट्स (यानी, बॉल 1 और बॉल 2) के बीच अंतर करना। तब दो गेंद वाली वस्तु होगी:
\शुरू {गठबंधन} I &= m_1r_1^2 + m_2r_2^2\\ &= 2 \;\text{kg} × (2 \;\text{m})^2 + 5 \;\text{kg} × (3 \;\text{m})^2 \\ &= 8 \;\text{kg m}^2 + 45 \;\text{kg m}^2 \\ &= 53 \;\text{kg एम}^2 \end{गठबंधन}
जड़ता का क्षण और कोणीय गति का संरक्षण
कोणीय गति (रैखिक गति के लिए घूर्णी एनालॉग) को घूर्णी जड़ता के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है (अर्थात, जड़ता का क्षण,मैं) वस्तु और उसके कोणीय वेग काω), जिसे डिग्री/सेकेंड या रेड/सेकेंड में मापा जाता है।
आप निस्संदेह रैखिक गति के संरक्षण के नियम से परिचित होंगे, और कोणीय गति भी उसी तरह संरक्षित होती है। कोणीय गति के लिए समीकरणली) है:
एल = मैंω
व्यवहार में इसका क्या अर्थ है, इसके बारे में सोचना कई भौतिक घटनाओं की व्याख्या करता है, क्योंकि (अन्य बलों की अनुपस्थिति में), किसी वस्तु की घूर्णी जड़ता जितनी अधिक होगी, उसका कोणीय वेग उतना ही कम होगा।
एक आइस स्केटर पर विचार करें जो निरंतर कोणीय वेग से घूमता है, जिसमें हथियार फैलाए जाते हैं, और ध्यान दें कि उसकी भुजाओं को फैलाए जाने से त्रिज्या बढ़ जाती हैआरजिसके बारे में उसका द्रव्यमान वितरित किया जाता है, जिससे जड़ता का एक बड़ा क्षण होता है, अगर उसकी बाहें उसके शरीर के करीब होती हैं।
अगरली1 उसकी भुजाओं को फैलाकर गणना की जाती है, औरली2, अपनी भुजाओं को अंदर खींचने के बाद उसका मान समान होना चाहिए (क्योंकि कोणीय संवेग संरक्षित है), यदि वह अपनी भुजाओं को खींचकर जड़ता के क्षण को कम कर देता है तो क्या होगा? उसका कोणीय वेगωभरपाई के लिए बढ़ जाती है।
गिरने पर अपने पैरों पर उतरने में मदद करने के लिए बिल्लियाँ समान गति करती हैं।
अपने पैरों और पूंछ को फैलाकर, वे अपने जड़त्व के क्षण को बढ़ाते हैं और अपने घूर्णन की गति को कम करते हैं, और इसके विपरीत वे अपने जड़त्व के क्षण को कम करने और घूर्णन की गति बढ़ाने के लिए अपने पैरों को खींच सकते हैं। वे इन दो रणनीतियों का उपयोग करते हैं - अपने "राइटिंग रिफ्लेक्स" के अन्य पहलुओं के साथ - अपने पैरों को जमीन सुनिश्चित करने के लिए सबसे पहले, और आप बिल्ली की समय-व्यतीत तस्वीरों में कर्लिंग और स्ट्रेचिंग के अलग-अलग चरणों को देख सकते हैं उतरना।
जड़ता का क्षण और घूर्णी गतिज ऊर्जा
रैखिक गति और घूर्णी गति के बीच समानताएं जारी रखते हुए, वस्तुओं में भी घूर्णी गतिज ऊर्जा होती है, उसी तरह उनकी रैखिक गतिज ऊर्जा होती है।
एक गेंद के बारे में सोचें जो जमीन पर लुढ़कती है, दोनों अपनी केंद्रीय धुरी के बारे में घूमती है और एक रैखिक फैशन में आगे बढ़ती है: गेंद की कुल गतिज ऊर्जा इसकी रैखिक गतिज ऊर्जा का योग हैइक और इसकी घूर्णन गतिज ऊर्जाइसड़ांध. इन दो ऊर्जाओं के बीच समानताएं दोनों के समीकरणों में परिलक्षित होती हैं, यह याद करते हुए कि किसी वस्तु का जड़ता का क्षण द्रव्यमान का घूर्णी एनालॉग है और इसका कोणीय वेग रैखिक का घूर्णी एनालॉग है वेगवी):
E_k = \frac{1}{2}एमवी^2
E_{rot} = \frac{1}{2}Iω^2
आप स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि दोनों समीकरणों का एक ही रूप है, जिसमें घूर्णन गतिज ऊर्जा समीकरण के लिए उपयुक्त घूर्णी एनालॉग्स को प्रतिस्थापित किया गया है।
बेशक, घूर्णी गतिज ऊर्जा की गणना करने के लिए, आपको वस्तु के लिए जड़ता के क्षण के लिए उपयुक्त अभिव्यक्ति को स्थान में बदलना होगामैं. गेंद को ध्यान में रखते हुए, और वस्तु को एक ठोस क्षेत्र के रूप में मॉडलिंग करते हुए, समीकरण यह है:
\begin{aligned} E_{rot} &= \bigg(\frac{2}{5} MR^2\bigg) \frac{1}{2} ω^2 \\ &= \frac{1}{5 }MR^2 ω^2 \end{aligned}
कुल गतिज ऊर्जा (इमुन्ना) इसका और गेंद की गतिज ऊर्जा का योग है, इसलिए आप लिख सकते हैं:
\begin{aligned} E_{tot} &= E_k + E_{rot} \\ &= \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{5}MR^2 ω^2 \end{ संरेखित}
0.3 मीटर की त्रिज्या और 2π rad/s के कोणीय वेग के साथ 2 मीटर/सेकेंड की रैखिक गति से चलने वाली 1-किलोग्राम गेंद के लिए, कुल ऊर्जा होगी:
\begin{aligned} E_{tot} &= \frac{1}{2} 1 \;\text{kg} × (2 \;\text{m/s})^2 + \frac{1}{5 }(1 \;\पाठ{किलोग्राम} × (०.३ .) \;\text{m})^2 × (2π \;\text{rad/s})^2) \\ &= 2 \;\text{J} + 0.71 \;\text{J} \\ & = 2.71 \;\पाठ{जे} \अंत{गठबंधन}
स्थिति के आधार पर, एक वस्तु में केवल रैखिक गतिज ऊर्जा हो सकती है (उदाहरण के लिए, एक गेंद को से गिराया जाता है) ऐसी ऊंचाई जिसमें कोई स्पिन नहीं है) या केवल घूर्णी गतिज ऊर्जा (एक गेंद घूमती है लेकिन जगह पर रहती है)।
याद रखें कि यह हैसंपूर्णऊर्जा जो संरक्षित है। यदि एक गेंद को बिना किसी प्रारंभिक घुमाव के दीवार पर लात मारी जाती है, और यह कम गति से वापस उछलती है, लेकिन एक स्पिन के साथ, साथ ही साथ ऊर्जा भी संपर्क बनाने पर ध्वनि और गर्मी में खो गया, प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का हिस्सा घूर्णी गतिज ऊर्जा में स्थानांतरित कर दिया गया है, और इसलिए यहनहीं कर सकतासंभवतः उतनी ही तेजी से आगे बढ़ें जितना उसने वापस उछलने से पहले किया था।