घूर्णी गतिज ऊर्जाकिसी वस्तु के घूमने या वृत्तीय गति से उत्पन्न गति की ऊर्जा का वर्णन करता है। याद करें किरैखिक गतिज ऊर्जाएक द्रव्यमान कामगति से चल रहा हैवी1/2mv. द्वारा दिया जाता है2. यह एक सीधी रेखा में चलने वाली किसी भी वस्तु के लिए एक सीधी गणना है। यह वस्तु के द्रव्यमान के केंद्र पर लागू होता है, जिससे वस्तु को एक बिंदु द्रव्यमान के रूप में अनुमानित किया जा सकता है।
अब, यदि हम अधिक जटिल गति से गुजर रही किसी विस्तारित वस्तु की गतिज ऊर्जा का वर्णन करना चाहते हैं, तो गणना अधिक कठिन हो जाती है।
हम विस्तारित वस्तु को छोटे टुकड़ों में तोड़कर क्रमिक सन्निकटन कर सकते हैं, जिनमें से प्रत्येक को एक के रूप में अनुमानित किया जा सकता है बिंदु द्रव्यमान, और फिर प्रत्येक बिंदु द्रव्यमान के लिए अलग-अलग रैखिक गतिज ऊर्जा की गणना करें, और उन सभी को जोड़कर कुल का पता लगाएं वस्तु हम वस्तु को जितना छोटा तोड़ेंगे, सन्निकटन उतना ही बेहतर होगा। उस सीमा में जहां टुकड़े असीम हो जाते हैं, यह कैलकुलस के साथ किया जा सकता है।
लेकिन हम किस्मत में हैं! जब घूर्णी गति की बात आती है, तो एक सरलीकरण होता है। एक घूर्णन वस्तु के लिए, यदि हम इसके जड़त्व के क्षण के संदर्भ में घूर्णन की धुरी के बारे में इसके द्रव्यमान वितरण का वर्णन करते हैं,
मैं, तब हम एक साधारण घूर्णी गतिज ऊर्जा समीकरण का उपयोग करने में सक्षम होते हैं, जिसकी चर्चा इस लेख में बाद में की गई है।निष्क्रियता के पल
निष्क्रियता के पलयह एक माप है कि किसी वस्तु को किसी विशेष अक्ष के बारे में अपनी घूर्णन गति को बदलने में कितना मुश्किल होता है। एक घूर्णन वस्तु के लिए जड़ता का क्षण न केवल वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर करता है, बल्कि यह भी कि उस द्रव्यमान को घूर्णन की धुरी के बारे में कैसे वितरित किया जाता है। धुरी से जितना दूर होता है, द्रव्यमान वितरित होता है, उसकी घूर्णन गति को बदलना उतना ही कठिन होता है, और इसलिए जड़ता का क्षण जितना अधिक होता है।
जड़ता के क्षण के लिए SI इकाइयाँ हैं kgm2 (जो हमारी इस धारणा के अनुरूप है कि यह द्रव्यमान और घूर्णन अक्ष से दूरी पर निर्भर करता है)। विभिन्न वस्तुओं के लिए जड़ता के क्षण एक तालिका में या कलन से पाए जा सकते हैं।
टिप्स
किसी भी वस्तु के लिए जड़ता का क्षण कैलकुलस और एक बिंदु द्रव्यमान की जड़ता के क्षण के सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है।
घूर्णी गतिज ऊर्जा समीकरण
घूर्णी गतिज ऊर्जा का सूत्र निम्न द्वारा दिया गया है:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2
कहा पेमैंवस्तु की जड़ता का क्षण है औरωरेडियन प्रति सेकंड (रेड/एस) में वस्तु का कोणीय वेग है। घूर्णी गतिज ऊर्जा का SI मात्रक जूल (J) है।
घूर्णी गतिज ऊर्जा सूत्र का रूप अनुवादकीय गतिज ऊर्जा समीकरण के अनुरूप है; जड़ता का क्षण द्रव्यमान की भूमिका निभाता है, और कोणीय वेग रैखिक वेग की जगह लेता है। ध्यान दें कि घूर्णी गतिज ऊर्जा समीकरण एक बिंदु द्रव्यमान के लिए वही परिणाम देता है जो रैखिक समीकरण करता है।
अगर हम एक बिंदु द्रव्यमान की कल्पना करते हैंमत्रिज्या के एक वृत्त में घूम रहा हैआरगति के साथवी, तो इसका कोणीय वेग ω = v/r है और इसका जड़त्व आघूर्ण mr. है2. दोनों गतिज ऊर्जा समीकरण अपेक्षित परिणाम देते हैं:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(mr^2)(v/r)^2=\frac{1}{2}\frac {m\रद्द करें{r^2}v^2}{\रद्द करें{r^2}} = \frac{1}{2}mv^2 = KE_{lin}
यदि कोई वस्तु घूम रही है और उसका द्रव्यमान केंद्र एक सीधी रेखा पथ के साथ घूम रहा है (उदाहरण के लिए, एक रोलिंग टायर के साथ होता है),कुल गतिज ऊर्जाघूर्णी गतिज ऊर्जा और स्थानांतरीय गतिज ऊर्जाओं का योग है:
KE_{tot} = KE_{rot}+KE_{lin} = \frac{1}{2}I\omega^2+\frac{1}{2}mv^2
घूर्णी गतिज ऊर्जा सूत्र का उपयोग करने वाले उदाहरण
घूर्णी गतिज ऊर्जा सूत्र के कई अनुप्रयोग हैं। इसका उपयोग कताई वस्तु की सरल गतिज ऊर्जा की गणना करने के लिए किया जा सकता है, गतिज ऊर्जा की गणना करने के लिए एक लुढ़कती हुई वस्तु (एक वस्तु जो घूर्णी और अनुवाद गति दोनों से गुजर रही है) और अन्य के लिए हल करने के लिए अज्ञात। निम्नलिखित तीन उदाहरणों पर विचार करें:
उदाहरण 1:पृथ्वी अपनी धुरी पर लगभग 24 घंटे में एक बार घूमती है। यदि हम मान लें कि इसका घनत्व एक समान है, तो इसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा क्या है? (पृथ्वी की त्रिज्या 6.37 × 10. है6 मी, और इसका द्रव्यमान 5.97 × 10. है24 किलोग्राम।)
घूर्णी गतिज ऊर्जा को खोजने के लिए, हमें पहले जड़त्व का क्षण खोजना होगा। पृथ्वी को एक ठोस गोले के रूप में अनुमानित करके, हम प्राप्त करते हैं:
मैं = \frac{2}{5}mr^2 = \frac{2}{5}(5.97\times10^{24}\text{kg})(6.37\times10^6\text{ m})^2 = 9.69\times10^{37}\text{kgm}^2
कोणीय वेग 2π रेडियन/दिन है। इसे रेड/एस में बदलने से यह मिलता है:
2\pi\frac{\text{radians}}{\cancel{\text{day}}}\frac{1\cancel{\text{ day}}}{86400\text{ सेकंड}} = 7.27\times10^ {-5} \पाठ{रेड/एस}
तो पृथ्वी की घूर्णन गतिज ऊर्जा है:
KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}(9.69\times10^{37}\text{kgm}^2)(7.27\times10^{- 5}\पाठ{रेड/एस})^2 = 2.56\बार 10^{29}\पाठ{ जे}
मजेदार तथ्य: यह सूर्य द्वारा एक मिनट में बाहर निकलने वाली कुल ऊर्जा से 10 गुना अधिक है!
उदाहरण 2:द्रव्यमान 0.75 किग्रा और त्रिज्या 0.1 मीटर का एक समान सिलेंडर फर्श पर 4 मीटर/सेकेंड की निरंतर गति से लुढ़कता है। इसकी गतिज ऊर्जा क्या है?
कुल गतिज ऊर्जा द्वारा दी गई है:
KE_{tot} = \frac{1}{2}I\omega^2 + \frac{1}{2}mv^2
इस मामले में, मैं = 1/2 एमआर2 एक ठोस सिलेंडर के लिए जड़ता का क्षण है, और isω= v/r. के माध्यम से रैखिक वेग से संबंधित है.
कुल गतिज ऊर्जा के लिए व्यंजक को सरल बनाने और मूल्यों में प्लगिंग देता है:
KE_{tot} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)(v/r)^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1 }{4}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2\\ = \frac{3}{4}(0.75\text{kg}) (४\पाठ{एम/सेक}) = २.२५\पाठ{ जे}
ध्यान दें कि हमें त्रिज्या का उपयोग करने की भी आवश्यकता नहीं थी! घूर्णी वेग और रैखिक वेग के बीच सीधा संबंध होने के कारण इसे रद्द कर दिया गया।
उदाहरण 3:साइकिल पर सवार छात्र आराम से पहाड़ी से नीचे उतरता है। यदि पहाड़ी की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई 30 मीटर है, तो छात्र कितनी तेजी से पहाड़ी के तल पर जा रहा है? मान लें कि साइकिल का वजन 8 किलोग्राम है, सवार का वजन 50 किलोग्राम है, प्रत्येक पहिये का वजन 2.2 किलोग्राम (साइकिल के वजन में शामिल) है और प्रत्येक पहिये का व्यास 0.7 मीटर है। पहियों को हुप्स के रूप में अनुमानित करें और मान लें कि घर्षण नगण्य है।
यहां हम अंतिम गति खोजने के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का उपयोग कर सकते हैं। पहाड़ी के शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा तल पर गतिज ऊर्जा में बदल जाती है। वह गतिज ऊर्जा संपूर्ण व्यक्ति + बाइक प्रणाली की अनुवादकीय गतिज ऊर्जा और टायरों की घूर्णी गतिज ऊर्जा का योग है।
प्रणाली की कुल ऊर्जा:
E_{tot} = PE_{top} = mgh = (50\text{kg} + 8\text{kg})(9.8\text{m/s}^2)(30\text{m}) = 17,052\ पाठ {जे}
पहाड़ी के तल पर गतिज ऊर्जा के रूप में कुल ऊर्जा का सूत्र है:
E_{tot} = KE_{bottom} = \frac{1}{2}I_{टायर}\omega^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = \frac{1} {2}(2\गुना m_{टायर} \times r_{टायर}^2)(v/r_{टायर})^2 + \frac{1}{2}m_{tot}v^2\\ = m_{टायर}v^2 + \frac{1}{ 2}m_{tot}v^2\\ = (m_{टायर} + \frac{1}{2}m_{tot})v^2
के लिए हल करनावीदेता है:
v = \sqrt{\frac{E_{tot}}{m_{टायर} + \frac{1}{2}m_{tot}}}
अंत में, संख्याओं को जोड़ने पर हमें अपना उत्तर मिलता है:
v = \sqrt{\frac{17,052\text{ J}}{2.2\text{kg} + \frac{1}{2}58\text{kg}}} = 23.4 \text{ m/s}